西南财经大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
三、求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n+1}}{n(2 n-1)}$ 的收玫域及和函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定收敛域：将级数转化为关于 t=x² 的幂级数，并求收敛半径
原级数为 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n+1}}{n(2 n-1)}$。提取公因子 $x$，令 $t=x^2$，得 $x \sum_{n=1}^{\infty} a_n t^n$，其中 $a_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n(2n-1)}$。对 $\sum a_n t^n$ 用比值法求收敛半径：$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{n(2n-1)}{(n+1)(2n+1)} \to 1$（$n\to\infty$），故关于 $t$ 的收敛半径为 $1$。因此关于 $x$ 有 $|x^2|<1$，即 $|x|<1$。
公式：$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{n(2n-1)}{(n+1)(2n+1)} \to 1$
提示：注意提取 x 后，级数变为 x 乘以一个关于 t=x² 的幂级数，收敛半径由 t 决定，不要直接对 x 用比值法。
步骤 2/6
目标：检查端点 x=±1 处的收敛性
当 $x=1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n(2n-1)}$，通项绝对值 $\frac{1}{n(2n-1)}$ 单调递减趋于 $0$，由莱布尼茨判别法知收敛。当 $x=-1$ 时，$x^{2n+1}=(-1)^{2n+1}=-1$，级数为 $-\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n(2n-1)}$，同样收敛。故收敛域为 $[-1,1]$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n(2n-1)}$ 收敛（莱布尼茨判别法）
提示：端点处注意代入后符号变化，x=-1 时指数 2n+1 为奇数，结果为负。
步骤 3/6
目标：将和函数表示为 S(x)=x F(x²)，并对 F(t) 进行部分分式分解
设 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{2n+1}}{n(2n-1)}$，$|x|\le 1$。提取 $x$：$S(x)=x\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{(x^2)^n}{n(2n-1)}$。令 $t=x^2$，$F(t)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{t^n}{n(2n-1)}$，则 $S(x)=xF(x^2)$。对分母部分分式：$\frac{1}{n(2n-1)}=\frac{2}{2n-1}-\frac{1}{n}$，于是 $F(t)=2\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{t^n}{2n-1}-\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{t^n}{n}$。
公式：$\frac{1}{n(2n-1)} = \frac{2}{2n-1} - \frac{1}{n}$
提示：部分分式分解是处理分母乘积的常用技巧，注意系数符号。
步骤 4/6
目标：求第二个和：$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{t^n}{n}$
第二个和为 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{t^n}{n}$，这是 $\ln(1+t)$ 的麦克劳林展开（$|t|<1$），即 $\ln(1+t)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{t^n}{n}$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{t^n}{n} = \ln(1+t)$
提示：注意 $\ln(1+t)$ 的展开式符号规律，与本题一致。
步骤 5/6
目标：求第一个和：$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{t^n}{2n-1}$，利用反正切展开
令 $u=\sqrt{t}$，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{t^n}{2n-1} = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{u^{2n}}{2n-1} = u\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{u^{2n-1}}{2n-1}$。而 $\arctan u = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{u^{2n-1}}{2n-1}$（$|u|\le 1$），故原式 $= u\arctan u = \sqrt{t}\arctan\sqrt{t}$。因此第一个和乘以 2 后为 $2\sqrt{t}\arctan\sqrt{t}$。
公式：$\arctan u = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{u^{2n-1}}{2n-1}$
提示：注意 $\arctan u$ 展开的指标平移，从 n=1 开始对应指数 2n-1。
步骤 6/6
目标：合并得到 F(t) 和 S(x) 的表达式
由前两步：$F(t)=2\sqrt{t}\arctan\sqrt{t} - \ln(1+t)$。代入 $S(x)=xF(x^2)$ 得 $S(x)=x\left(2\sqrt{x^2}\arctan\sqrt{x^2} - \ln(1+x^2)\right)$。由于 $\sqrt{x^2}=|x|$，且 $S(x)$ 为奇函数（原级数只有奇次幂），可统一写为 $S(x)=2x^2\arctan x - x\ln(1+x^2)$，$|x|\le 1$。验证：当 $x\ge 0$ 时 $|x|=x$，当 $x<0$ 时 $\arctan x$ 为奇函数，$x^2$ 为偶，整体仍为奇函数。
公式：$S(x)=2x^2\arctan x - x\ln(1+x^2)$
提示：注意 $\sqrt{x^2}=|x|$，但最终结果利用奇函数性质可去掉绝对值，直接写为 $x$。
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