西南财经大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
二、已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x} t^{2} f(t) \mathrm{d} t$ ，
$\displaystyle F(1)=f(1)$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{2 f(\xi)}{\xi}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解已知条件并转化待证结论
已知 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，$F(x)=\int_0^x t^2 f(t) \, dt$，且 $F(1)=f(1)$。待证：存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f'(\xi) = -\frac{2f(\xi)}{\xi}$。将结论改写为 $\xi f'(\xi) + 2f(\xi)=0$，两边乘以 $\xi$ 得 $\xi^2 f'(\xi) + 2\xi f(\xi)=0$。
公式：$\xi f'(\xi) + 2f(\xi)=0$
提示：注意 $\xi \in (0,1)$，因此 $\xi \neq 0$，可以安全地乘以或除以 $\xi$。
步骤 2/6
目标：构造辅助函数 $\varphi(x)$ 并联系导数
令 $\varphi(x)=x^2 f(x)$，则 $\varphi'(x)=2x f(x)+x^2 f'(x)$。观察发现，$\varphi'(\xi)=0$ 恰好等价于 $\xi^2 f'(\xi)+2\xi f(\xi)=0$，即待证结论。因此，问题转化为证明存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $\varphi'(\xi)=0$。
公式：$\varphi'(x)=2x f(x)+x^2 f'(x)$
提示：构造辅助函数是微分中值定理类问题的关键技巧，通常从结论的导数形式反推。
步骤 3/6
目标：利用 $F(x)$ 与 $\varphi(x)$ 的关系
由 $F(x)=\int_0^x t^2 f(t) \, dt$ 得 $F'(x)=x^2 f(x)=\varphi(x)$，且 $F(0)=0$。条件 $F(1)=f(1)$ 可写为 $\int_0^1 t^2 f(t) \, dt = f(1)$。
公式：$F'(x)=x^2 f(x)$
提示：注意 $F(x)$ 是 $\varphi(x)$ 的一个原函数，这为后续构造 $g(x)$ 提供基础。
步骤 4/6
目标：构造第二个辅助函数 $g(x)$ 并应用罗尔定理
令 $g(x)=F(x)-x^2 f(x)=F(x)-\varphi(x)$。计算端点值：$g(0)=F(0)-0=0$，$g(1)=F(1)-1^2 f(1)=f(1)-f(1)=0$。因此 $g(0)=g(1)=0$，由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $g'(\xi)=0$。
公式：$g(x)=F(x)-x^2 f(x)$
提示：构造 $g(x)$ 时确保端点值相等是应用罗尔定理的关键，这里利用了 $F(1)=f(1)$ 的条件。
步骤 5/6
目标：计算 $g'(x)$ 并代入 $\xi$ 得到结论
计算导数：$g'(x)=F'(x)-[2x f(x)+x^2 f'(x)]=x^2 f(x)-2x f(x)-x^2 f'(x)=-2x f(x)-x^2 f'(x)$。由 $g'(\xi)=0$ 得 $-2\xi f(\xi)-\xi^2 f'(\xi)=0$，两边除以 $-\xi$（$\xi \neq 0$）得 $2f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$，即 $f'(\xi)=-\frac{2f(\xi)}{\xi}$。
公式：$g'(x)=-2x f(x)-x^2 f'(x)$
提示：除以 $\xi$ 时需注意 $\xi \in (0,1)$，故 $\xi \neq 0$，操作合法。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f'(\xi)=-\frac{2f(\xi)}{\xi}$，命题得证。
公式：$f'(\xi)=-\frac{2f(\xi)}{\xi}$
提示：本题通过两次构造辅助函数，结合罗尔定理完成证明，体现了微分中值定理的典型应用。
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