西南财经大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
五、讨论反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln (1+x)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 的玫散性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将积分拆分成两段，分别处理奇点
由于积分区间包含 $x=0$ 和 $x\to+\infty$ 两个可能的奇点，取 $c=1$ 将积分拆分为：
$$\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln(1+x)}{x^{p}} \, dx = \int_{0}^{1} \frac{\ln(1+x)}{x^{p}} \, dx + \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln(1+x)}{x^{p}} \, dx$$
公式：\int_{0}^{+\infty} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} f(x)\,dx + \int_{1}^{+\infty} f(x)\,dx
提示：拆分点可以任意取，但通常取 $x=1$ 方便比较。
步骤 2/5
目标：讨论 $\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{x^p} dx$ 的收敛性
当 $x \to 0^+$ 时，$\ln(1+x) \sim x$，因此被积函数 $\frac{\ln(1+x)}{x^p} \sim \frac{x}{x^p} = x^{1-p}$。
积分 $\int_0^1 x^{1-p} dx$ 在 $x=0$ 附近收敛当且仅当 $1-p > -1$，即 $p < 2$。
当 $p \ge 2$ 时，该积分发散。
公式：\frac{\ln(1+x)}{x^p} \sim x^{1-p} \quad (x\to 0^+)
提示：注意 $\int_0^1 x^\alpha dx$ 在 $\alpha > -1$ 时收敛，这里 $\alpha = 1-p$。
步骤 3/5
目标：讨论 $\int_1^{+\infty} \frac{\ln(1+x)}{x^p} dx$ 的收敛性
当 $x \to +\infty$ 时，$\ln(1+x) \sim \ln x$，且对任意 $\varepsilon>0$，有 $\ln x < x^\varepsilon$ 对充分大的 $x$ 成立。
因此 $\frac{\ln(1+x)}{x^p} \sim \frac{\ln x}{x^p}$。
积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{x^p} dx$ 收敛当且仅当 $p>1$（因为 $\ln x$ 增长慢于任何正幂次）。
当 $p \le 1$ 时，该积分发散。
公式：\frac{\ln(1+x)}{x^p} \sim \frac{\ln x}{x^p} \quad (x\to +\infty)
提示：可用比较判别法：取 $q$ 满足 $1
步骤 4/5
目标：综合两部分条件，确定收敛区间
两部分同时收敛的条件是：
- 来自 $x=0$ 附近：$p < 2$
- 来自 $x\to+\infty$ 附近：$p > 1$
因此原积分收敛当且仅当 $1 < p < 2$。
当 $p \le 1$ 时，无穷远处发散；当 $p \ge 2$ 时，$x=0$ 附近发散。边界 $p=1$ 和 $p=2$ 可单独验证均发散。
公式：1 < p < 2 \quad \text{时收敛}
提示：边界点 $p=1$ 和 $p=2$ 需要单独验证，通常发散。
步骤 5/5
目标：验证边界 $p=1$ 和 $p=2$ 的发散性
当 $p=1$ 时，$\int_1^{+\infty} \frac{\ln(1+x)}{x} dx$ 发散（因为 $\frac{\ln x}{x}$ 的积分发散）。
当 $p=2$ 时，$\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{x^2} dx$ 在 $x=0$ 附近 $\sim \frac{1}{x}$，发散。
因此边界均发散。
公式：\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{x} dx \quad \text{发散},\quad \int_0^1 \frac{1}{x} dx \quad \text{发散}
提示：边界情况常用比较判别法或直接积分判断。
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