西南财经大学 2022年数学分析第0题

曲线 $\Gamma$ 由抛物面 $z = x^2 + y^2$ 与平面 $x + y + z = 1$ 相交得到。要求曲线上的点 $(x, y, z)$ 到原点 $(0,0,0)$ 的距离 $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ 的最大值和最小值。由于平方根是单调递增的，等价于求 $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$ 在曲线约束下的最值。

由平面方程 $x + y + z = 1$ 得 $z = 1 - x - y$。代入抛物面方程 $z = x^2 + y^2$ 得 $1 - x - y = x^2 + y^2$。整理并配方：$x^2 + x + y^2 + y = 1$，即 $\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{2}$。这表示曲线在 $xy$ 平面上的投影是一个圆，圆心 $(-1/2, -1/2)$，半径 $R = \sqrt{\frac{3}{2}}$。

将 $z = 1 - x - y$ 代入 $f = x^2 + y^2 + z^2$，得 $f = x^2 + y^2 + (1 - x - y)^2$。展开：$(1 - x - y)^2 = 1 + x^2 + y^2 + 2xy - 2x - 2y$，因此 $f = 2x^2 + 2y^2 + 2xy - 2x - 2y + 1$。

令 $x = -\frac{1}{2} + R\cos\theta$, $y = -\frac{1}{2} + R\sin\theta$，其中 $R = \sqrt{\frac{3}{2}}$。计算 $x + y = -1 + R(\cos\theta + \sin\theta)$，则 $z = 1 - (x+y) = 2 - R(\cos\theta + \sin\theta)$。同时可验证 $x^2 + y^2 = 2 - R(\cos\theta + \sin\theta) = z$，因此 $f = x^2 + y^2 + z^2 = z + z^2$。

$\cos\theta + \sin\theta = \sqrt{2}\sin(\theta + \pi/4)$，取值范围为 $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$。代入 $R = \sqrt{3/2}$，得 $R\sqrt{2} = \sqrt{3}$。因此 $z_{\min} = 2 - \sqrt{3}$，$z_{\max} = 2 + \sqrt{3}$。函数 $g(z) = z^2 + z$ 在区间 $[2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3}]$ 上单调递增（对称轴 $z = -1/2$ 在区间左侧），故最小值在 $z = 2-\sqrt{3}$ 处，最大值在 $z = 2+\sqrt{3}$ 处。

最小值：$f_{\min} = (2-\sqrt{3})^2 + (2-\sqrt{3}) = (4 - 4\sqrt{3} + 3) + 2 - \sqrt{3} = 9 - 5\sqrt{3}$。最大值：$f_{\max} = (2+\sqrt{3})^2 + (2+\sqrt{3}) = (4 + 4\sqrt{3} + 3) + 2 + \sqrt{3} = 9 + 5\sqrt{3}$。因此距离的最小值为 $\sqrt{9 - 5\sqrt{3}}$，最大值为 $\sqrt{9 + 5\sqrt{3}}$。