西南财经大学 2022年数学分析第0题

区域由直线 $y=-x$ 和曲线 $x=\sqrt{a^2-(y+a)^2}$ 围成。曲线可化为 $x^2+(y+a)^2=a^2$，是圆心在 $(0,-a)$、半径为 $a$ 的右半圆（$x\ge 0$）。求交点：将 $y=-x$ 代入圆方程得 $x^2+(-x+a)^2=a^2$，化简得 $2x^2-2ax=0$，解得 $x=0$ 或 $x=a$，对应交点 $(0,0)$ 和 $(a,-a)$。因此区域 $D$ 由原点、点 $(a,-a)$ 和圆弧围成。

被积函数只依赖于 $r=\sqrt{x^2+y^2}$，故用极坐标。令 $x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta$，则 $\sqrt{x^2+y^2}=r$，$\mathrm{d}x\mathrm{d}y=r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。被积函数化为 $\frac{r}{\sqrt{4a^2-r^2}}$，积分变为 $\iint_D \frac{r^2}{\sqrt{4a^2-r^2}}\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。

直线 $y=-x$ 对应 $\tan\theta=-1$，在右半平面取 $\theta=-\pi/4$。圆方程 $x^2+(y+a)^2=a^2$ 化为 $r^2+2a r\sin\theta=0$，得 $r=-2a\sin\theta$（$r>0$ 要求 $\sin\theta<0$）。区域中 $\theta$ 从 $-\pi/4$ 到 $0$（$\theta=0$ 时 $r=0$ 对应原点），$r$ 从 $0$ 到 $-2a\sin\theta$。

积分化为 $I=\int_{\theta=-\pi/4}^{0}\int_{r=0}^{-2a\sin\theta}\frac{r^2}{\sqrt{4a^2-r^2}}\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。计算内层积分：令 $r=2a\sin u$，则 $\mathrm{d}r=2a\cos u\,\mathrm{d}u$，$\sqrt{4a^2-r^2}=2a\cos u$。$r=0$ 时 $u=0$；$r=-2a\sin\theta=2a\sin(-\theta)$ 时 $u=-\theta$。内层积分化为 $\int_0^{-\theta}\frac{(2a\sin u)^2}{2a\cos u}\cdot2a\cos u\,\mathrm{d}u =4a^2\int_0^{-\theta}\sin^2 u\,\mathrm{d}u$。计算得 $4a^2\left[\frac{u}{2}-\frac{\sin2u}{4}\right]_0^{-\theta}= -2a^2\theta + a^2\sin2\theta$。

外层积分为 $I=\int_{-\pi/4}^{0}(-2a^2\theta + a^2\sin2\theta)\mathrm{d}\theta$。逐项积分：$\int -2a^2\theta\,\mathrm{d}\theta = -a^2\theta^2$，$\int a^2\sin2\theta\,\mathrm{d}\theta = -\frac{a^2}{2}\cos2\theta$。代入上下限：上限0得 $-\frac{a^2}{2}$，下限 $-\pi/4$ 得 $-\frac{a^2\pi^2}{16}$。相减得 $I = \left(-\frac{a^2}{2}\right) - \left(-\frac{a^2\pi^2}{16}\right) = a^2\left(\frac{\pi^2}{16}-\frac{1}{2}\right)$。