西南财经大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
四、已知 $\displaystyle f(u, v)$ 存在二阶连续偏导数，且
$$
g(x, y)=x y-f(x+y, x-y),
$$
求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入中间变量并求一阶偏导数 ∂g/∂x
令 $u = x + y$, $v = x - y$，则 $g(x, y) = xy - f(u, v)$。对 $x$ 求偏导：
$$\frac{\partial g}{\partial x} = y - \left( \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} \right) = y - (f_u \cdot 1 + f_v \cdot 1) = y - f_u - f_v.$$
公式：$\frac{\partial g}{\partial x} = y - f_u - f_v$
提示：注意链式法则：$f_u$ 和 $f_v$ 仍是 $u,v$ 的函数，求导时需继续使用链式法则。
步骤 2/6
目标：求一阶偏导数 ∂g/∂y
对 $y$ 求偏导：
$$\frac{\partial g}{\partial y} = x - \left( \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} \right) = x - (f_u \cdot 1 + f_v \cdot (-1)) = x - f_u + f_v.$$
公式：$\frac{\partial g}{\partial y} = x - f_u + f_v$
提示：注意 $\partial v/\partial y = -1$，符号不要出错。
步骤 3/6
目标：求二阶偏导数 ∂²g/∂x²
对 $\frac{\partial g}{\partial x} = y - f_u - f_v$ 再对 $x$ 求导：
$$\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} = 0 - \left( \frac{\partial f_u}{\partial x} + \frac{\partial f_v}{\partial x} \right).$$
计算 $\frac{\partial f_u}{\partial x} = f_{uu} \cdot 1 + f_{uv} \cdot 1 = f_{uu} + f_{uv}$，
$\frac{\partial f_v}{\partial x} = f_{vu} \cdot 1 + f_{vv} \cdot 1 = f_{vu} + f_{vv}$。
由 $f_{uv}=f_{vu}$，得：
$$\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} = - (f_{uu} + 2f_{uv} + f_{vv}).$$
公式：$\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} = - (f_{uu} + 2f_{uv} + f_{vv})$
提示：二阶混合偏导相等是简化关键。
步骤 4/6
目标：求二阶偏导数 ∂²g/∂y²
对 $\frac{\partial g}{\partial y} = x - f_u + f_v$ 再对 $y$ 求导：
$$\frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = 0 - \left( \frac{\partial f_u}{\partial y} - \frac{\partial f_v}{\partial y} \right).$$
计算 $\frac{\partial f_u}{\partial y} = f_{uu} \cdot 1 + f_{uv} \cdot (-1) = f_{uu} - f_{uv}$，
$\frac{\partial f_v}{\partial y} = f_{vu} \cdot 1 + f_{vv} \cdot (-1) = f_{vu} - f_{vv}$。
代入得：
$$\frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = -[(f_{uu} - f_{uv}) - (f_{vu} - f_{vv})] = -(f_{uu} - 2f_{uv} + f_{vv}).$$
公式：$\frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = -(f_{uu} - 2f_{uv} + f_{vv})$
提示：注意负号的处理，$f_{uv}=f_{vu}$ 可简化。
步骤 5/6
目标：求混合偏导数 ∂²g/∂x∂y
对 $\frac{\partial g}{\partial x} = y - f_u - f_v$ 再对 $y$ 求导：
$$\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} = 1 - \left( \frac{\partial f_u}{\partial y} + \frac{\partial f_v}{\partial y} \right).$$
代入上一步的 $\frac{\partial f_u}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial f_v}{\partial y}$：
$$= 1 - [(f_{uu} - f_{uv}) + (f_{vu} - f_{vv})] = 1 - (f_{uu} - f_{uv} + f_{uv} - f_{vv}) = 1 - (f_{uu} - f_{vv}).$$
公式：$\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} = 1 - (f_{uu} - f_{vv})$
提示：混合偏导中的常数1来自 $\partial y/\partial y$，不要遗漏。
步骤 6/6
目标：组合所求表达式并化简
计算 $\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}$：
代入：
- $\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} = - (f_{uu} + 2 f_{uv} + f_{vv})$
- $\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} = 1 - (f_{uu} - f_{vv})$
- $\frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = - (f_{uu} - 2 f_{uv} + f_{vv})$
相加：
常数项：$1$
$f_{uu}$ 项：$-1 -1 -1 = -3$
$f_{uv}$ 项：$-2 + 0 + 2 = 0$
$f_{vv}$ 项：$-1 + 1 -1 = -1$
得：$1 - 3f_{uu} - f_{vv}$。
最终结果需将 $f_{uu}, f_{vv}$ 写回变量形式：$f_{uu}(x+y, x-y)$, $f_{vv}(x+y, x-y)$。
公式：$\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}} = 1 - 3f_{uu}(x+y, x-y) - f_{vv}(x+y, x-y)$
提示：合并时注意各项系数，$f_{uv}$ 项恰好抵消，简化了结果。
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