西安理工大学 2025年数学分析第10题
📝 题目
10、 $\displaystyle z=f(2 x-y, y \sin x)$ 有连续二阶偏导数，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设中间变量，明确函数关系
令 $u = 2x - y$, $v = y \sin x$，则 $z = f(u, v)$。
公式：$u = 2x - y$, $v = y \sin x$
提示：注意中间变量 $u$ 和 $v$ 都是 $x$ 和 $y$ 的函数，后续求导时需正确计算它们的偏导数。
步骤 2/6
目标：求一阶偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$
由链式法则：
$$\frac{\partial z}{\partial x} = f_u \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + f_v \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$$
其中 $\frac{\partial u}{\partial x} = 2$, $\frac{\partial v}{\partial x} = y \cos x$，所以
$$\frac{\partial z}{\partial x} = 2 f_u + (y \cos x) f_v$$
公式：$\frac{\partial z}{\partial x} = 2 f_u + y \cos x \, f_v$
提示：$f_u$ 和 $f_v$ 仍然是 $u, v$ 的函数，不能视为常数。
步骤 3/6
目标：对 $y$ 求偏导得到 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
对 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 关于 $y$ 求偏导（$x$ 视为常数）：
$$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \big( 2 f_u + y \cos x \, f_v \big)$$
分两项计算。
公式：$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2 f_u) + \frac{\partial}{\partial y}(y \cos x \, f_v)$
提示：注意第二项需使用乘积法则。
步骤 4/6
目标：计算第一项 $2 f_u$ 对 $y$ 的偏导
由链式法则：
$$2 \frac{\partial f_u}{\partial y} = 2 \left( f_{uu} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + f_{uv} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} \right)$$
其中 $\frac{\partial u}{\partial y} = -1$, $\frac{\partial v}{\partial y} = \sin x$，所以第一项为
$$2 \big( - f_{uu} + \sin x \, f_{uv} \big)$$
公式：$2 \frac{\partial f_u}{\partial y} = -2 f_{uu} + 2 \sin x \, f_{uv}$
提示：注意 $f_{uu}$ 和 $f_{uv}$ 是二阶偏导，仍为 $u, v$ 的函数。
步骤 5/6
目标：计算第二项 $y \cos x \, f_v$ 对 $y$ 的偏导
使用乘积法则：
$$\frac{\partial}{\partial y} \big( y \cos x \, f_v \big) = \cos x \cdot f_v + y \cos x \cdot \frac{\partial f_v}{\partial y}$$
而
$$\frac{\partial f_v}{\partial y} = f_{vu} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + f_{vv} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} = - f_{vu} + \sin x \, f_{vv}$$
由于二阶偏导连续，$f_{uv} = f_{vu}$，所以第二项为
$$\cos x \, f_v + y \cos x \big( - f_{uv} + \sin x \, f_{vv} \big)$$
公式：$\frac{\partial}{\partial y}(y \cos x \, f_v) = \cos x \, f_v - y \cos x \, f_{uv} + y \sin x \cos x \, f_{vv}$
提示：注意混合偏导可交换顺序，即 $f_{uv} = f_{vu}$。
步骤 6/6
目标：合并两项结果并整理
将第一项和第二项相加：
$$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \big(-2 f_{uu} + 2 \sin x \, f_{uv}\big) + \big(\cos x \, f_v - y \cos x \, f_{uv} + y \sin x \cos x \, f_{vv}\big)$$
合并同类项：
- $f_{uu}$ 项：$-2 f_{uu}$
- $f_{uv}$ 项：$(2 \sin x - y \cos x) f_{uv}$
- $f_{vv}$ 项：$y \sin x \cos x \, f_{vv}$
- $f_v$ 项：$\cos x \, f_v$
最终结果为：
$$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -2 f_{uu} + (2 \sin x - y \cos x) f_{uv} + y \sin x \cos x \, f_{vv} + \cos x \, f_v$$
公式：$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -2 f_{uu} + (2 \sin x - y \cos x) f_{uv} + y \sin x \cos x \, f_{vv} + \cos x \, f_v$
提示：注意检查每一项的系数，避免遗漏或符号错误。
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