郑州大学 2026年数学分析第9题
📝 题目
9．（20分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，在 $\displaystyle (a, b)$ 内二阶可导．$\displaystyle f(a)=f(b)=0, f_{+}^{\prime}(a)>0, f_{-}^{\prime}(b)>0$ ．
（1）证明：存在 $\displaystyle c \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(c)=0$ ．
（2）证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
（3）证明：存在 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2} \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right)<0, f^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)>0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明存在c∈(a,b)使得f(c)=0
由$f'_+(a)>0$，存在$\delta_1>0$，当$x\in(a,a+\delta_1)$时，$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}>0$，因$f(a)=0$，故$f(x)>0$。同理，由$f'_-(b)>0$，存在$\delta_2>0$，当$x\in(b-\delta_2,b)$时，$\frac{f(b)-f(x)}{b-x}>0$，因$f(b)=0$，故$f(x)<0$。于是存在$x_1\in(a,b)$使$f(x_1)>0$，$x_2\in(a,b)$使$f(x_2)<0$。由连续函数介值定理，存在$c$介于$x_1$与$x_2$之间，使得$f(c)=0$。
公式：$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}>0$，$\frac{f(b)-f(x)}{b-x}>0$
提示：注意利用单侧导数的定义得到函数值的符号变化，再应用介值定理时需确保函数连续（可导必连续）。
步骤 2/3
目标：证明存在ξ∈(a,b)使得f''(ξ)=0
由(1)知存在$c\in(a,b)$使$f(c)=0$，且$f(a)=f(b)=0$。在$[a,c]$上应用罗尔定理，存在$\eta_1\in(a,c)$使$f'(\eta_1)=0$；在$[c,b]$上应用罗尔定理，存在$\eta_2\in(c,b)$使$f'(\eta_2)=0$。再在$[\eta_1,\eta_2]$上对$f'(x)$应用罗尔定理，存在$\xi\in(\eta_1,\eta_2)\subset(a,b)$使$(f')'(\xi)=0$，即$f''(\xi)=0$。
公式：$f'(\eta_1)=0$，$f'(\eta_2)=0$，$f''(\xi)=0$
提示：两次使用罗尔定理，注意区间端点函数值相等是应用条件。
步骤 3/3
目标：证明存在ξ1,ξ2∈(a,b)使得f''(ξ1)<0且f''(ξ2)>0
由(1)知在$a$右侧附近$f(x)>0$，取$x_0\in(a,a+\delta_1)$，由拉格朗日中值定理，存在$p\in(a,x_0)$使$f'(p)=\frac{f(x_0)-f(a)}{x_0-a}>0$。又由(2)知存在$\eta_1\in(a,c)$使$f'(\eta_1)=0$且$p<\eta_1$。在$[p,\eta_1]$上对$f'(x)$应用中值定理，存在$\xi_1\in(p,\eta_1)$使$f''(\xi_1)=\frac{f'(\eta_1)-f'(p)}{\eta_1-p}=\frac{0-正数}{正数}<0$。
同理，在$b$左侧附近$f(x)<0$，取$q\in(b-\delta_2,b)$，存在$r\in(q,b)$使$f'(r)=\frac{f(b)-f(q)}{b-q}>0$。又存在$\eta_2\in(c,b)$使$f'(\eta_2)=0$且$\eta_20$。
公式：$f''(\xi_1)=\frac{f'(\eta_1)-f'(p)}{\eta_1-p}<0$，$f''(\xi_2)=\frac{f'(r)-f'(\eta_2)}{r-\eta_2}>0$
提示：关键在于利用端点附近函数值的符号得到导数的符号，再结合已知导数为零的点，通过中值定理得到二阶导数的符号。注意选取的点要保证区间包含关系。
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