陕西师范大学 2024年数学分析第1题
📝 题目
1．（15 分）判断对错并说明理由（正确的给出证明，错误的给出反例）．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ 均存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界．
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续且有界，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ 均存在．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断第（1）小题的正误并说明理由
考虑函数 $f(x) = \frac{1}{x-a}$，定义在 $(a, b)$ 上。该函数在 $(a, b)$ 内每一点都连续（因为分母不为零且为初等函数），但当 $x \to a^+$ 时，$f(x) \to +\infty$，因此函数在 $(a, b)$ 上无界。故原命题错误。
公式：f(x) = \frac{1}{x-a}
提示：开区间上的连续函数不一定有界，端点附近可能趋于无穷。
步骤 2/4
目标：判断第（2）小题的正误并给出证明
设 $\lim_{x \to a^+} f(x) = L_1$，$\lim_{x \to b^-} f(x) = L_2$。由极限定义，存在 $\delta_1 > 0$，当 $x \in (a, a+\delta_1)$ 时，$|f(x) - L_1| < 1$，从而 $|f(x)| < |L_1| + 1$。同理，存在 $\delta_2 > 0$，当 $x \in (b-\delta_2, b)$ 时，$|f(x)| < |L_2| + 1$。在闭区间 $[a+\delta_1, b-\delta_2]$ 上，$f(x)$ 连续，由有界性定理知有界。因此整个 $(a, b)$ 上有界。故原命题正确。
公式：\lim_{x \to a^+} f(x) = L_1, \quad \lim_{x \to b^-} f(x) = L_2
提示：利用极限存在得到端点附近局部有界，再结合闭区间连续函数有界性定理。
步骤 3/4
目标：判断第（3）小题的正误并说明理由
考虑函数 $f(x) = \sin\frac{1}{x-a}$，定义在 $(a, b)$ 上。该函数在 $(a, b)$ 上连续，且值域为 $[-1, 1]$，因此有界。但当 $x \to a^+$ 时，$\frac{1}{x-a} \to +\infty$，$\sin\frac{1}{x-a}$ 在 $-1$ 和 $1$ 之间无限振荡，极限不存在。故原命题错误。
公式：f(x) = \sin\frac{1}{x-a}
提示：有界且连续不能保证端点极限存在，振荡型函数是典型反例。
步骤 4/4
目标：总结三个小题的结论
（1）错误，反例：$f(x)=\frac{1}{x-a}$；（2）正确，证明见步骤2；（3）错误，反例：$f(x)=\sin\frac{1}{x-a}$。
提示：注意区分开区间与闭区间上连续函数性质的差异。
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