陕西师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将极限表达式拆分为两部分
记 $S_n = 1! + 2! + \cdots + n!$，则所求极限为 $\lim_{n\to\infty} \frac{S_n}{n!}$。将分子中的最后一项 $n!$ 单独分离出来：
$$\frac{S_n}{n!} = \frac{1! + 2! + \cdots + (n-1)!}{n!} + \frac{n!}{n!} = \frac{1! + 2! + \cdots + (n-1)!}{n!} + 1$$
公式：$$\frac{S_n}{n!} = \frac{1! + 2! + \cdots + (n-1)!}{n!} + 1$$
提示：注意拆分后，分子中不再包含 $n!$，便于后续放缩。
步骤 2/4
目标：进一步拆分前一部分，单独处理最大项
将前一部分中的最后一项 $(n-1)!$ 单独提出：
$$\frac{1! + 2! + \cdots + (n-1)!}{n!} = \frac{1! + 2! + \cdots + (n-2)!}{n!} + \frac{(n-1)!}{n!}$$
而 $\frac{(n-1)!}{n!} = \frac{1}{n}$。
公式：$$\frac{(n-1)!}{n!} = \frac{1}{n}$$
提示：这一步是为了将容易估计的项分离出来，剩余项可以整体放缩。
步骤 3/4
目标：对剩余项进行放缩估计
对于 $k \le n-2$，有
$$\frac{k!}{n!} = \frac{1}{(k+1)(k+2)\cdots n} \le \frac{1}{(n-1)n}$$
因为分母至少包含因子 $(n-1)n$（当 $k=n-2$ 时取等，$k$ 更小时分母更大，分数更小）。于是
$$0 \le \frac{1! + 2! + \cdots + (n-2)!}{n!} \le (n-2) \cdot \frac{1}{(n-1)n} \le \frac{n}{(n-1)n} = \frac{1}{n-1}$$
公式：$$0 \le \frac{1! + 2! + \cdots + (n-2)!}{n!} \le \frac{1}{n-1}$$
提示：放缩时注意分母的最小情况，确保不等式方向正确。
步骤 4/4
目标：取极限，合并结果
由夹逼准则，当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n-1} \to 0$，故
$$\lim_{n\to\infty} \frac{1! + 2! + \cdots + (n-2)!}{n!} = 0$$
因此
$$\lim_{n\to\infty} \frac{S_n}{n!} = 1 + \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} + 0 = 1$$
公式：$$\lim_{n\to\infty} \frac{S_n}{n!} = 1$$
提示：注意 $\frac{1}{n}$ 项也趋于0，最终极限为1。
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