陕西师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
2．求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}[\ln \arctan (x+1)-\ln \arctan x]$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简表达式，将对数差转化为商的对数
根据对数性质，有
\[
\ln\arctan(x+1) - \ln\arctan x = \ln\left( \frac{\arctan(x+1)}{\arctan x} \right)
\]
因此原极限化为
\[
\lim_{x\to+\infty} x^2 \ln\left( \frac{\arctan(x+1)}{\arctan x} \right)
\]
公式：\ln a - \ln b = \ln\frac{a}{b}
提示：注意对数定义域：当x→+∞时，arctan x → π/2，故真数为正，化简合法。
步骤 2/5
目标：分析arctan x在x→+∞时的渐近展开
利用恒等式
\[
\arctan x = \frac{\pi}{2} - \arctan\frac{1}{x}
\]
以及当y→0时，\arctan y \sim y，得到
\[
\arctan x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{x} + O\left(\frac{1}{x^3}\right)
\]
类似地，
\[
\arctan(x+1) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{x+1} + O\left(\frac{1}{(x+1)^3}\right)
\]
公式：\arctan x = \frac{\pi}{2} - \arctan\frac{1}{x}
提示：展开时注意保留到足够高阶的项，因为后面要乘以x²。
步骤 3/5
目标：计算比值并展开到1/x²项
令A = π/2，则
\[
\frac{\arctan(x+1)}{\arctan x} = \frac{A - \frac{1}{x+1} + \cdots}{A - \frac{1}{x} + \cdots}
= \frac{1 - \frac{2}{\pi(x+1)}}{1 - \frac{2}{\pi x}} \cdot (1+\text{高阶小})
\]
利用1/(x+1) = 1/x - 1/x² + O(1/x³)，展开分子分母到1/x²项：
\[
1 - \frac{2}{\pi(x+1)} = 1 - \frac{2}{\pi x} + \frac{2}{\pi x^2} + O\left(\frac{1}{x^3}\right)
\]
分母的倒数展开为
\[
\frac{1}{1 - \frac{2}{\pi x}} = 1 + \frac{2}{\pi x} + \frac{4}{\pi^2 x^2} + O\left(\frac{1}{x^3}\right)
\]
相乘后，1/x项抵消，1/x²项系数为
\[
\frac{4}{\pi^2} - \frac{4}{\pi^2} + \frac{2}{\pi} = \frac{2}{\pi}
\]
故
\[
\frac{\arctan(x+1)}{\arctan x} = 1 + \frac{2}{\pi x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right)
\]
公式：\frac{1}{1-u} = 1+u+u^2+\cdots \quad (|u|<1)
提示：展开时注意逐项计算，避免遗漏交叉项；1/x项抵消是本题关键。
步骤 4/5
目标：取对数并利用等价无穷小
当u→0时，\ln(1+u) ~ u。这里u = \frac{2}{\pi x^2} + o(1/x²) → 0，因此
\[
\ln\left( \frac{\arctan(x+1)}{\arctan x} \right) \sim \frac{2}{\pi x^2}
\]
公式：\ln(1+u) \sim u \quad (u\to 0)
提示：等价无穷小替换时，必须确认u确实趋于0，且主项明确。
步骤 5/5
目标：乘以x²并求极限
将近似结果代入原极限：
\[
x^2 \cdot \ln\left( \frac{\arctan(x+1)}{\arctan x} \right) \sim x^2 \cdot \frac{2}{\pi x^2} = \frac{2}{\pi}
\]
因此
\[
\lim_{x\to+\infty} x^2[\ln\arctan(x+1)-\ln\arctan x] = \frac{2}{\pi}
\]
公式：\lim_{x\to+\infty} x^2 \cdot \frac{2}{\pi x^2} = \frac{2}{\pi}
提示：最后一步是精确极限，因为高阶项在乘以x²后仍趋于0。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。