陕西师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
3．设 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\sin t}{\pi-t} \mathrm{~d} t$ ，求积分 $\int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出要计算的积分形式
我们要计算 $I = \int_{0}^{\pi} f(x) \, dx = \int_{0}^{\pi} \left( \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{\pi - t} \, dt \right) dx$。这是一个二重积分，积分区域为 $0 \le t \le x \le \pi$。
公式：I = \int_{0}^{\pi} \left( \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{\pi - t} \, dt \right) dx
提示：注意二重积分的积分区域是三角形区域，边界由 $t=0$、$x=\pi$ 和 $t=x$ 围成。
步骤 2/5
目标：交换积分次序
将积分区域改写为：$t$ 从 $0$ 到 $\pi$，对于每个固定的 $t$，$x$ 从 $t$ 到 $\pi$。于是 $I = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin t}{\pi - t} \left( \int_{t}^{\pi} dx \right) dt$。
公式：I = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin t}{\pi - t} \left( \int_{t}^{\pi} dx \right) dt
提示：交换次序时，要正确确定新的积分限：$x$ 的下限是 $t$，上限是 $\pi$。
步骤 3/5
目标：计算内层积分
内层对 $x$ 的积分很简单：$\int_{t}^{\pi} dx = \pi - t$。
公式：\int_{t}^{\pi} dx = \pi - t
提示：这是常数函数的积分，结果就是积分区间的长度。
步骤 4/5
目标：化简被积函数
代入得 $I = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin t}{\pi - t} \cdot (\pi - t) \, dt$。由于 $\pi - t$ 与分母约掉（在 $t=\pi$ 处为可去奇点，不影响积分值），得到 $I = \int_{0}^{\pi} \sin t \, dt$。
公式：I = \int_{0}^{\pi} \sin t \, dt
提示：注意 $\pi - t$ 在 $t=\pi$ 处为0，但被积函数在该点有极限，因此积分是正常的。
步骤 5/5
目标：计算最终积分
计算 $\int_{0}^{\pi} \sin t \, dt = [-\cos t]_{0}^{\pi} = (-\cos \pi) - (-\cos 0) = (-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2$。
公式：\int_{0}^{\pi} \sin t \, dt = 2
提示：注意 $\cos \pi = -1$，$\cos 0 = 1$，代入时小心符号。
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