陕西师范大学 2025年数学分析第0题

半球面方程为 $z = -\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$，表示球心在原点、半径为 $a$ 的下半球面。题目指定取“上侧”，即法向量指向 $z$ 轴正向。对于下半球面，外侧法向量的 $z$ 分量为负，因此“上侧”实际指向球的内侧，这一点在应用高斯公式时需注意符号。

在曲面 $S$ 上，$x^2 + y^2 + z^2 = a^2$，所以分母 $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = a$ 为常数，可提到积分号外： $$I = \iint_S \frac{a x \, dy\, dz + (a+z)^2 \, dx\, dy}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = \frac{1}{a} \iint_S \left[ a x \, dy\, dz + (a+z)^2 \, dx\, dy \right]$$ 记 $P = a x$, $Q = 0$, $R = (a+z)^2$，则原积分为 $I = \frac{1}{a} \iint_S P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy$。

补上圆盘 $S_1: z=0, x^2+y^2 \le a^2$，取 $S_1$ 的下侧（与下半球面外侧构成封闭曲面外侧）。令封闭曲面 $\Sigma = S_{\text{out}} \cup S_1$（外侧），区域 $\Omega$ 为下半球体：$z \le 0, x^2+y^2+z^2 \le a^2$。由高斯公式： $$\iint_{\partial \Omega} P\,dy\,dz + R\,dx\,dy = \iiint_\Omega \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV$$ 计算散度：$\frac{\partial P}{\partial x} = a$, $\frac{\partial R}{\partial z} = 2(a+z)$，散度 $= a + 2(a+z) = 3a + 2z$。

计算 $\iiint_\Omega (3a+2z)\,dV = 3a \cdot \text{Vol}(\Omega) + 2\iiint_\Omega z\,dV$。 下半球体积 $\text{Vol}(\Omega) = \frac{2}{3}\pi a^3$。 计算 $\iiint_\Omega z\,dV$：由对称性，整个球的 $z$ 积分为0，上半球 $z$ 积分与下半球互为相反数。上半球用球坐标： $$\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi/2} d\phi \int_0^a (r\cos\phi) r^2\sin\phi\,dr = 2\pi \cdot \frac{a^4}{4} \cdot \frac12 = \frac{\pi a^4}{4}$$ 故下半球 $\iiint_\Omega z\,dV = -\frac{\pi a^4}{4}$。 代入得：$3a \cdot \frac{2}{3}\pi a^3 + 2\left(-\frac{\pi a^4}{4}\right) = 2\pi a^4 - \frac{\pi a^4}{2} = \frac{3\pi a^4}{2}$。

在圆盘 $S_1$（下侧）上，$z=0$，$R = a^2$，且 $dy\,dz$ 项贡献为0。下侧时 $dx\,dy$ 取负号： $$\iint_{S_1,\text{下侧}} R\,dx\,dy = \iint_{x^2+y^2 \le a^2} a^2 \cdot (-dx\,dy) = -a^2 \cdot \pi a^2 = -\pi a^4$$ 由高斯公式：$\iint_{S_{\text{out}}} + (-\pi a^4) = \frac{3\pi a^4}{2}$，解得 $\iint_{S_{\text{out}}} = \frac{5\pi a^4}{2}$。

原曲面 $S$ 取上侧（内侧），与外侧相反，故 $\iint_S = -\iint_{S_{\text{out}}} = -\frac{5\pi a^4}{2}$。乘以因子 $1/a$ 得： $$I = \frac{1}{a} \left( -\frac{5\pi a^4}{2} \right) = -\frac{5\pi a^3}{2}$$