陕西师范大学 2025年数学分析第0题

曲线积分为 $I = \oint_L \frac{x\,dy - y\,dx}{3x^2+4y^2}$，其中 $L$ 是椭圆 $2x^2+3y^2=1$，逆时针方向。分母为 $3x^2+4y^2$，分子为 $x\,dy - y\,dx$，类似于极角形式，但分母不是圆对称。考虑通过线性变换将椭圆化为圆，简化计算。

令 $u = \sqrt{2}\,x$，$v = \sqrt{3}\,y$，则椭圆 $2x^2+3y^2=1$ 变为 $u^2+v^2=1$，即单位圆。逆时针方向保持不变（线性变换行列式为正）。计算微分：$x = \frac{u}{\sqrt{2}}$，$y = \frac{v}{\sqrt{3}}$，$dx = \frac{du}{\sqrt{2}}$，$dy = \frac{dv}{\sqrt{3}}$。分子：$x\,dy - y\,dx = \frac{u}{\sqrt{2}} \cdot \frac{dv}{\sqrt{3}} - \frac{v}{\sqrt{3}} \cdot \frac{du}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{6}}(u\,dv - v\,du)$。分母：$3x^2+4y^2 = 3\left(\frac{u^2}{2}\right) + 4\left(\frac{v^2}{3}\right) = \frac{3u^2}{2} + \frac{4v^2}{3} = \frac{9u^2+8v^2}{6}$。因此被积表达式化为 $\frac{\frac{1}{\sqrt{6}}(u\,dv - v\,du)}{\frac{9u^2+8v^2}{6}} = \frac{\sqrt{6}}{9u^2+8v^2}(u\,dv - v\,du)$。

令 $p = 3u$，$q = 2\sqrt{2}\,v$，则 $u = \frac{p}{3}$，$v = \frac{q}{2\sqrt{2}}$。此时 $9u^2+8v^2 = p^2+q^2$。计算微分：$du = \frac{dp}{3}$，$dv = \frac{dq}{2\sqrt{2}}$。则 $u\,dv - v\,du = \frac{p}{3} \cdot \frac{dq}{2\sqrt{2}} - \frac{q}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{dp}{3} = \frac{1}{6\sqrt{2}}(p\,dq - q\,dp)$。原积分变为 $I = \oint_C \frac{\sqrt{6}}{p^2+q^2} \cdot \frac{1}{6\sqrt{2}}(p\,dq - q\,dp)$，其中 $C$ 是 $p,q$ 平面上的椭圆 $\frac{p^2}{9}+\frac{q^2}{8}=1$，方向逆时针。系数化简：$\frac{\sqrt{6}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$，所以 $I = \frac{\sqrt{3}}{6} \oint_C \frac{p\,dq - q\,dp}{p^2+q^2}$。

在 $p,q$ 平面上，被积函数 $\frac{p\,dq - q\,dp}{p^2+q^2}$ 是极角 $\theta = \arctan(q/p)$ 的微分 $d\theta$。对于绕原点一周的封闭曲线（不经过原点且逆时针），该积分为 $2\pi$。这里椭圆 $\frac{p^2}{9}+\frac{q^2}{8}=1$ 包围原点，方向逆时针，因此 $\oint_C \frac{p\,dq - q\,dp}{p^2+q^2} = 2\pi$。代入得 $I = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot 2\pi = \frac{\pi\sqrt{3}}{3}$。

因此原曲线积分的值为 $\frac{\pi\sqrt{3}}{3}$。