陕西师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
6．求数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}$ 的和．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将通项进行部分分式分解
首先，对通项 $\frac{1}{n(n+1)}$ 进行部分分式分解：
\[
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
\]
因此，原级数的通项变为：
\[
\frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)} = (-1)^{n+1}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)
\]
公式：\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
提示：注意部分分式分解时，分母为相邻整数乘积，分解后常出现 telescoping 形式。
步骤 2/6
目标：写出部分和并拆分为两个求和
设部分和 $S_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}$，代入分解式得：
\[
S_N = \sum_{n=1}^{N} (-1)^{n+1}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = \sum_{n=1}^{N} \frac{(-1)^{n+1}}{n} - \sum_{n=1}^{N} \frac{(-1)^{n+1}}{n+1}
\]
公式：S_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{(-1)^{n+1}}{n} - \sum_{n=1}^{N} \frac{(-1)^{n+1}}{n+1}
提示：拆分后注意两个求和的下标范围相同，但第二项分母为 n+1，需调整下标以便合并。
步骤 3/6
目标：调整第二个求和的指标
令 $k = n+1$，则当 $n=1$ 时 $k=2$，当 $n=N$ 时 $k=N+1$，且 $(-1)^{n+1} = (-1)^k$，于是：
\[
\sum_{n=1}^{N} \frac{(-1)^{n+1}}{n+1} = \sum_{k=2}^{N+1} \frac{(-1)^k}{k}
\]
因此：
\[
S_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{(-1)^{n+1}}{n} - \sum_{k=2}^{N+1} \frac{(-1)^k}{k}
\]
公式：\sum_{n=1}^{N} \frac{(-1)^{n+1}}{n+1} = \sum_{k=2}^{N+1} \frac{(-1)^k}{k}
提示：指标变换时注意符号的变化：$(-1)^{n+1}=(-1)^k$ 是因为 $k=n+1$。
步骤 4/6
目标：将两个求和展开并逐项相减
将两个求和展开：
第一个求和：$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots + \frac{(-1)^{N+1}}{N}$
第二个求和：$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \cdots + \frac{(-1)^{N}}{N} + \frac{(-1)^{N+1}}{N+1}$
相减时，第一项为 $1$，从第二项开始，对应项相减：
- 对于 $n=2$ 到 $N$，第一个求和的项为 $\frac{(-1)^{n+1}}{n}$，第二个求和的对应项为 $\frac{(-1)^n}{n}$，它们的差为 $\frac{(-1)^{n+1} - (-1)^n}{n} = \frac{-2(-1)^n}{n}$。
- 最后，第二个求和多出一项 $\frac{(-1)^{N+1}}{N+1}$，需减去。
因此：
\[
S_N = 1 - \frac{(-1)^{N+1}}{N+1} + \sum_{n=2}^{N} \frac{-2(-1)^n}{n}
\]
公式：S_N = 1 - \frac{(-1)^{N+1}}{N+1} - 2\sum_{n=2}^{N} \frac{(-1)^n}{n}
提示：逐项相减时注意第二个求和的第一项是 $\frac{1}{2}$，与第一个求和的第二项 $\frac{-1}{2}$ 对应，差为 $-1$，与后续项模式一致。
步骤 5/6
目标：化简部分和表达式
将 $\sum_{n=2}^{N} \frac{(-1)^n}{n}$ 改写为 $\sum_{n=1}^{N} \frac{(-1)^n}{n} - \frac{(-1)^1}{1} = \sum_{n=1}^{N} \frac{(-1)^n}{n} + 1$，代入得：
\[
S_N = 1 - \frac{(-1)^{N+1}}{N+1} - 2\left( \sum_{n=1}^{N} \frac{(-1)^n}{n} + 1 \right) = 1 - \frac{(-1)^{N+1}}{N+1} - 2\sum_{n=1}^{N} \frac{(-1)^n}{n} - 2
\]
即：
\[
S_N = -1 - \frac{(-1)^{N+1}}{N+1} - 2\sum_{n=1}^{N} \frac{(-1)^n}{n}
\]
公式：S_N = -1 - \frac{(-1)^{N+1}}{N+1} - 2\sum_{n=1}^{N} \frac{(-1)^n}{n}
提示：注意 $\sum_{n=1}^{N} \frac{(-1)^n}{n}$ 是交错调和级数的部分和，其极限为 $-\ln 2$。
步骤 6/6
目标：取极限得到级数和
令 $N \to \infty$，则 $\frac{(-1)^{N+1}}{N+1} \to 0$，且 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} = -\ln 2$（因为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$，这里符号相反）。因此：
\[
S = \lim_{N\to\infty} S_N = -1 - 0 - 2(-\ln 2) = -1 + 2\ln 2
\]
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)} = 2\ln 2 - 1
提示：交错调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$，注意符号与本题中 $(-1)^n$ 的关系。
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