陕西师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
10．设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，当 $x$ 个 $+\infty$ 时，$y=2 x$ 是 $f(x)$ 的渐近线．证明：$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解条件并引入辅助函数
已知 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，且当 $x \to +\infty$ 时，$y=2x$ 是 $f(x)$ 的渐近线。由渐近线定义，有 $\lim_{x\to +\infty} [f(x)-2x]=0$。令 $g(x)=f(x)-2x$，则 $g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，且 $\lim_{x\to +\infty} g(x)=0$。
公式：\lim_{x\to +\infty} g(x)=0,\quad g(x)=f(x)-2x
提示：注意渐近线定义中极限为0，而不是趋于无穷，这是后续放缩的关键。
步骤 2/5
目标：利用极限控制无穷远处的函数值差
对任意给定的 $\varepsilon>0$，由 $\lim_{x\to +\infty} g(x)=0$，存在 $M>a$（可取 $M>a+1$ 以便后续处理），使得当 $x\ge M$ 时，$|g(x)|<\frac{\varepsilon}{3}$。于是对任意 $x_1,x_2\ge M$，有 $|f(x_1)-f(x_2)|=|2x_1+g(x_1)-2x_2-g(x_2)|\le 2|x_1-x_2|+|g(x_1)-g(x_2)|\le 2|x_1-x_2|+|g(x_1)|+|g(x_2)|<2|x_1-x_2|+\frac{2\varepsilon}{3}$。取 $\delta_1=\frac{\varepsilon}{6}$，则当 $|x_1-x_2|<\delta_1$ 时，$|f(x_1)-f(x_2)|<2\cdot\frac{\varepsilon}{6}+\frac{2\varepsilon}{3}=\varepsilon$。
公式：|f(x_1)-f(x_2)|<2|x_1-x_2|+\frac{2\varepsilon}{3},\quad \delta_1=\frac{\varepsilon}{6}
提示：此处利用绝对值不等式放缩时，注意 $|g(x_1)-g(x_2)|\le |g(x_1)|+|g(x_2)|$ 是常用的技巧，但并非最紧，此处足够。
步骤 3/5
目标：处理有限闭区间上的一致连续性
考虑闭区间 $[a, M+1]$。由于 $f(x)$ 在 $[a, M+1]$ 上连续，根据一致连续性定理（Cantor定理），$f(x)$ 在 $[a, M+1]$ 上一致连续。因此对上述 $\varepsilon>0$，存在 $\delta_2>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in[a, M+1]$，只要 $|x_1-x_2|<\delta_2$，就有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon>0,\exists \delta_2>0,\forall x_1,x_2\in[a,M+1],|x_1-x_2|<\delta_2\Rightarrow|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon
提示：有限闭区间上连续函数必一致连续，这是经典结论，注意区间端点包含 $M+1$ 是为了覆盖后续可能出现的跨区间情况。
步骤 4/5
目标：合并两部分并处理跨区间情形
取 $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2,1\}$。任取 $x_1,x_2\in[a,+\infty)$ 且 $|x_1-x_2|<\delta$。分三种情况讨论：
1. 若 $x_1,x_2\ge M$，由第二步知 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。
2. 若 $x_1,x_2\le M+1$，由第三步知 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。
3. 若一个小于 $M$，另一个大于 $M$，由于 $|x_1-x_2|<\delta\le 1$，则两者必同时落在 $[M-1, M+1]$ 内。因为已取 $M>a+1$，所以 $[M-1, M+1]\subset[a, M+1]$，故由第三步的结论也成立。
综上，对所有情况均有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。
公式：\delta=\min\{\delta_1,\delta_2,1\}
提示：跨区间情形是证明一致连续时的常见难点，需保证两个点不会一个在远处一个在近处而无法被同一区间覆盖，取 $\delta\le 1$ 且 $M>a+1$ 可确保重叠区域被有限区间覆盖。
步骤 5/5
目标：得出结论
由一致连续的定义，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in[a,+\infty)$，只要 $|x_1-x_2|<\delta$，就有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。因此 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。
提示：证明完成，注意一致连续要求 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，而不依赖于点的位置，这里通过分区间讨论实现了这一点。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。