陕西师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
11．设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ ．证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} f\left(x^{6}\right) \mathrm{d} x \geq f\left(\frac{1}{7}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题目条件并明确凸函数性质
已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $f''(x) \geq 0$，这表明 $f$ 是凸函数。凸函数的一个重要性质是 Jensen 不等式：对于概率测度下的积分，有 $f\left(\int g \, d\mu\right) \leq \int f(g) \, d\mu$。
公式：f''(x) \geq 0 \Rightarrow f \text{ 是凸函数}
提示：注意凸函数的定义：二阶导数非负是凸函数的充分条件（在区间内）。
步骤 2/5
目标：应用Jensen不等式到积分形式
考虑区间 $[0,1]$ 上的均匀概率测度，即 $dx$ 本身是概率测度（区间长度为1）。令 $g(x)=x^6$，则根据 Jensen 不等式：
$$ f\left(\int_0^1 x^6 \, dx\right) \leq \int_0^1 f(x^6) \, dx. $$
公式：f\left(\int_0^1 x^6 \, dx\right) \leq \int_0^1 f(x^6) \, dx
提示：Jensen不等式方向：凸函数中，函数值的平均不小于平均值的函数值，此处不等式方向正确。
步骤 3/5
目标：计算积分 ∫₀¹ x⁶ dx
计算幂函数积分：
$$ \int_0^1 x^6 \, dx = \left[ \frac{x^7}{7} \right]_0^1 = \frac{1}{7}. $$
公式：\int_0^1 x^6 \, dx = \frac{1}{7}
提示：注意积分上下限，直接使用幂函数积分公式。
步骤 4/5
目标：代入积分结果得到所需不等式
将积分结果 $\frac{1}{7}$ 代入 Jensen 不等式，得到：
$$ f\left(\frac{1}{7}\right) \leq \int_0^1 f(x^6) \, dx, $$
即 $$ \int_0^1 f(x^6) \, dx \geq f\left(\frac{1}{7}\right). $$
公式：\int_0^1 f(x^6) \, dx \geq f\left(\frac{1}{7}\right)
提示：注意不等式方向：由 Jensen 不等式直接得到，无需额外推导。
步骤 5/5
目标：验证条件并完成证明
题目中 $f''(x) \geq 0$ 保证了 $f$ 的凸性，且积分区间 $[0,1]$ 长度为1，因此 $dx$ 是概率测度，Jensen 不等式适用。所有条件满足，结论成立。
公式：\text{凸性} + \text{概率测度} \Rightarrow \text{Jensen 不等式}
提示：确保凸函数定义与 Jensen 不等式方向一致，避免混淆。
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