陕西师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
12．设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调减，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．证明：若 $f^{\prime}(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，则反常积分 $\int_{0}^{+\infty} f^{\prime}(x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解条件和目标
已知：
1. $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减。
2. $\lim_{x\to+\infty} f(x) = 0$。
3. $f'(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续。
要证明反常积分 $\int_0^{+\infty} f'(x) \sin^2 x \, dx$ 收敛。
提示：注意单调递减意味着 $f'(x) \leq 0$，但不需要绝对收敛。
步骤 2/5
目标：应用分部积分转化积分
令 $u = \sin^2 x$, $dv = f'(x) dx$，则 $du = 2\sin x \cos x \, dx = \sin 2x \, dx$, $v = f(x)$。
分部积分得：
$$\int_0^T f'(x) \sin^2 x \, dx = \left[ f(x) \sin^2 x \right]_0^T - \int_0^T f(x) \sin 2x \, dx$$
公式：\int_a^b u \, dv = [uv]_a^b - \int_a^b v \, du
提示：注意 $\sin^2 0 = 0$，边界项简化。
步骤 3/5
目标：处理边界项并化简
由于 $\sin^2 0 = 0$，有：
$$\int_0^T f'(x) \sin^2 x \, dx = f(T) \sin^2 T - \int_0^T f(x) \sin 2x \, dx$$
当 $T \to +\infty$ 时，$f(T) \to 0$，且 $\sin^2 T$ 有界，故 $\lim_{T\to+\infty} f(T) \sin^2 T = 0$。
因此原积分的收敛性等价于 $\lim_{T\to+\infty} \int_0^T f(x) \sin 2x \, dx$ 的收敛性。
公式：\lim_{T\to+\infty} f(T) \sin^2 T = 0
提示：边界项趋于0是关键，但需注意 $\sin^2 T$ 振荡，不能直接说 $f(T)\sin^2 T \to 0$ 由 $f(T)\to 0$ 保证。
步骤 4/5
目标：应用Dirichlet判别法证明 $\int_0^{+\infty} f(x) \sin 2x \, dx$ 收敛
取 $g(x) = f(x)$，$h(x) = \sin 2x$。
- $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减且趋于0。
- $\sin 2x$ 的原函数为 $-\frac12 \cos 2x$，对任意 $T>0$，有
$$\left| \int_0^T \sin 2x \, dx \right| = \left| \frac{1 - \cos 2T}{2} \right| \leq 1$$
即积分有界。
由Dirichlet判别法，$\int_0^{+\infty} f(x) \sin 2x \, dx$ 收敛。
公式：\left| \int_0^T \sin 2x \, dx \right| \leq 1
提示：Dirichlet判别法要求 $g(x)$ 单调趋于0，$\int_a^b h(x)dx$ 有界，这里满足。
步骤 5/5
目标：回到原积分并得出结论
由分部积分结果，当 $T \to +\infty$ 时：
$$\int_0^{+\infty} f'(x) \sin^2 x \, dx = 0 - \int_0^{+\infty} f(x) \sin 2x \, dx$$
右边积分已证收敛，因此左边反常积分也收敛。
公式：\int_0^{+\infty} f'(x) \sin^2 x \, dx = -\int_0^{+\infty} f(x) \sin 2x \, dx
提示：注意分部积分中边界项极限为0，不要遗漏负号。
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