陕西师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
13．设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{\sqrt{n^{3}+n}}$ ．
（1）证明：$f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续．
（2）证明：$\displaystyle F\left(\frac{\pi}{2}\right)<\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，其中 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明级数在R上一致收敛
对于任意实数x，有|cos(nx)/√(n³+n)| ≤ 1/√(n³+n)。而1/√(n³+n) ~ 1/n^(3/2)，由于∑_{n=1}^∞ 1/n^(3/2)收敛（p-级数，p=3/2>1），由Weierstrass M-判别法，原级数在R上一致收敛。
公式：\left| \frac{\cos(nx)}{\sqrt{n^3+n}} \right| \le \frac{1}{\sqrt{n^3+n}} \sim \frac{1}{n^{3/2}}
提示：注意比较级数时，分母中n的最高次项决定收敛性，n³+n ~ n³，开方后为n^(3/2)。
步骤 2/6
目标：由一致收敛性推出和函数连续
级数的每一项u_n(x)=cos(nx)/√(n³+n)都是R上的连续函数，且级数在R上一致收敛，因此和函数f(x)在R上连续。
公式：f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos nx}{\sqrt{n^3+n}} \text{ 在 } \mathbb{R} \text{ 上连续}
提示：一致收敛是保证和函数连续性的关键条件，不能仅由逐点收敛得到。
步骤 3/6
目标：利用一致收敛性逐项积分得到F(x)的级数表达式
由于级数在R上一致收敛，可以在[0,x]上逐项积分：F(x)=∫_0^x f(t)dt = ∑_{n=1}^∞ (1/√(n³+n)) ∫_0^x cos(nt)dt = ∑_{n=1}^∞ sin(nx)/(n√(n³+n))。
公式：F(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n\sqrt{n^3+n}}
提示：逐项积分需要验证一致收敛性，这里已由第1步保证。
步骤 4/6
目标：代入x=π/2并化简级数
令x=π/2，得F(π/2)=∑_{n=1}^∞ sin(nπ/2)/(n√(n³+n))。sin(nπ/2)的周期为4：n=1时1，n=2时0，n=3时-1，n=4时0，…。令n=2k-1，则sin((2k-1)π/2)=(-1)^(k-1)。于是F(π/2)=∑_{k=1}^∞ (-1)^(k-1)/[(2k-1)√((2k-1)³+(2k-1))]。
公式：F\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)\sqrt{(2k-1)^3+(2k-1)}}
提示：注意sin(nπ/2)的取值规律，只有奇数项非零，且符号交替。
步骤 5/6
目标：化简分母并分析级数性质
分母中(2k-1)³+(2k-1)=(2k-1)[(2k-1)²+1]=(2k-1)(4k²-4k+2)，开方得√(2k-1)·√(4k²-4k+2)。因此通项a_k=1/[(2k-1)√(2k-1)√(4k²-4k+2)]，为正且递减趋于0，故该交错级数满足Leibniz判别法条件。
公式：a_k=\frac{1}{(2k-1)\sqrt{2k-1}\sqrt{4k^2-4k+2}}
提示：交错级数的和小于首项，这是证明不等式的关键。
步骤 6/6
目标：利用交错级数性质证明不等式
由Leibniz判别法，交错级数∑(-1)^(k-1)a_k的和S满足|S| < a_1。计算a_1：当k=1时，2k-1=1，√(2k-1)=1，√(4k²-4k+2)=√(4-4+2)=√2，故a_1=1/(1·1·√2)=1/√2=√2/2。因此F(π/2) < √2/2。
公式：a_1=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad F\left(\frac{\pi}{2}\right)
提示：严格不等式成立是因为级数从k=1开始，且a_k>0，和严格小于首项。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。