陕西师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
14．证明 $I(y)=\int_{0}^{+\infty} e^{-p x} \cos x y \mathrm{~d} x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛，其中 $p>0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确一致收敛的定义
对于含参量积分 $\int_0^{+\infty} f(x,y)\,dx$，如果对任意 $\varepsilon>0$，存在一个与 $y$ 无关的 $A>0$，使得当任意 $b > a > A$ 时，有 $\left|\int_a^b f(x,y)\,dx\right|<\varepsilon$ 对一切 $y$ 成立，则称该积分关于 $y$ 一致收敛。
公式：$\forall \varepsilon>0, \exists A>0 \text{（与 } y \text{ 无关）}, \forall b>a>A, \forall y: \left|\int_a^b f(x,y)\,dx\right|<\varepsilon$
提示：注意一致收敛要求 $A$ 的选取不依赖于参数 $y$。
步骤 2/5
目标：分析被积函数
被积函数为 $f(x,y)=e^{-p x}\cos(xy)$，其中 $p>0$ 固定。对任意固定的 $y$，当 $x\to+\infty$ 时，指数因子 $e^{-p x}$ 衰减至 $0$，因此每个 $y$ 对应的积分收敛。但我们需要更强的结论——一致收敛，即衰减速度对 $y$ 是一致的。
公式：$f(x,y)=e^{-p x}\cos(xy)$
提示：注意 $\cos(xy)$ 有界但不衰减，衰减完全由 $e^{-p x}$ 提供。
步骤 3/5
目标：尝试用 Weierstrass 判别法
Weierstrass 判别法：如果能找到一个与 $y$ 无关的可积函数 $g(x)$，使得对所有 $y$ 和足够大的 $x$ 有 $|f(x,y)| \le g(x)$，且 $\int_0^{+\infty} g(x)\,dx$ 收敛，则原积分关于 $y$ 一致收敛。这里显然 $|e^{-p x}\cos(xy)| \le e^{-p x}$，而 $\int_0^{+\infty} e^{-p x}\,dx = \frac{1}{p} < \infty$，所以取 $g(x)=e^{-p x}$ 即可。
公式：$|e^{-p x}\cos(xy)| \le e^{-p x}, \quad \int_0^{+\infty} e^{-p x}\,dx = \frac{1}{p}$
提示：$\cos(xy)$ 的绝对值不超过1，这是放缩的关键。
步骤 4/5
目标：应用 Weierstrass 判别法得出结论
因为对任意实数 $y$，$|e^{-p x}\cos(xy)| \le e^{-p x}$，且 $\int_0^{+\infty} e^{-p x}\,dx$ 收敛，所以由 Weierstrass 判别法，原积分 $I(y)=\int_0^{+\infty} e^{-p x}\cos(xy)\,dx$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上关于 $y$ 一致收敛。
公式：$\int_0^{+\infty} e^{-p x}\,dx = \frac{1}{p}$ 收敛
提示：Weierstrass 判别法要求控制函数 $g(x)$ 可积且与参数无关，这里满足。
步骤 5/5
目标：总结
因此，结论成立：$I(y)=\int_0^{+\infty} e^{-p x}\cos(xy)\,dx$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛。
公式：$I(y)=\int_0^{+\infty} e^{-p x}\cos(xy)\,dx$
提示：本题是 Weierstrass 判别法的直接应用，无需更复杂的技巧。
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