陕西师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
15．解答如下问题：
（1）计算积分 $\displaystyle A=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\left|x y-\frac{1}{4}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2）设 $z=f(x, y)$ 在区域 $D:[0,1] \times[0,1]$ 上连续，且满足条件
$$
\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0 \text { 和 } \iint_{D} x y f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=1 \text {. }
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定绝对值分界曲线，划分积分区域
被积函数为 $|xy - \frac14|$，令 $xy = \frac14$ 得到分界曲线。在单位正方形 $[0,1]\times[0,1]$ 内，该曲线与边界交于点 $(1, \frac14)$ 和 $(\frac14, 1)$。将区域分为两部分：
- $D_1$：$xy \le \frac14$，此时 $|xy - \frac14| = \frac14 - xy$；
- $D_2$：$xy \ge \frac14$，此时 $|xy - \frac14| = xy - \frac14$。
公式：xy = \frac14
提示：注意曲线 $y = \frac{1}{4x}$ 在 $x \in [\frac14, 1]$ 上定义，$x$ 很小时整个 $y$ 范围均满足 $xy \le \frac14$。
步骤 2/4
目标：计算区域 $D_1$ 的积分 $I_1$
区域 $D_1$ 分为两部分：
1. $x \in [0, \frac14]$，$y \in [0,1]$：
$$\int_0^{1/4} \int_0^1 \left(\frac14 - xy\right) dy\,dx = \int_0^{1/4} \left(\frac14 - \frac{x}{2}\right) dx = \frac{3}{64}$$
2. $x \in [\frac14, 1]$，$y \in [0, \frac{1}{4x}]$：
$$\int_{1/4}^1 \int_0^{1/(4x)} \left(\frac14 - xy\right) dy\,dx = \int_{1/4}^1 \frac{1}{32x} dx = \frac{\ln 2}{16}$$
因此 $I_1 = \frac{3}{64} + \frac{\ln 2}{16}$。
公式：\int_{1/4}^1 \frac{1}{32x} dx = \frac{\ln 2}{16}
提示：计算第二部分时，先对 $y$ 积分得到 $\frac{1}{32x}$，再对 $x$ 积分注意对数运算。
步骤 3/4
目标：计算区域 $D_2$ 的积分 $I_2$
区域 $D_2$ 为 $x \in [\frac14, 1]$，$y \in [\frac{1}{4x}, 1]$：
$$I_2 = \int_{1/4}^1 \int_{1/(4x)}^1 \left(xy - \frac14\right) dy\,dx$$
先对 $y$ 积分：
$$\int_{1/(4x)}^1 (xy - \frac14) dy = \frac{x}{2} - \frac14 + \frac{1}{32x}$$
再对 $x$ 积分：
$$\int_{1/4}^1 \left(\frac{x}{2} - \frac14 + \frac{1}{32x}\right) dx = \frac{3}{64} + \frac{\ln 2}{16}$$
因此 $I_2 = \frac{3}{64} + \frac{\ln 2}{16}$。
公式：\int_{1/4}^1 \left(\frac{x}{2} - \frac14 + \frac{1}{32x}\right) dx = \frac{3}{64} + \frac{\ln 2}{16}
提示：注意积分上下限代入时，下限 $y = 1/(4x)$ 的处理要仔细，避免符号错误。
步骤 4/4
目标：求和得到最终结果
总积分 $A = I_1 + I_2$：
$$A = \left(\frac{3}{64} + \frac{\ln 2}{16}\right) + \left(\frac{3}{64} + \frac{\ln 2}{16}\right) = \frac{3}{32} + \frac{\ln 2}{8}$$
公式：A = \frac{3}{32} + \frac{\ln 2}{8}
提示：合并同类项时注意分数通分：$\frac{3}{64}+\frac{3}{64}=\frac{3}{32}$，$\frac{\ln 2}{16}+\frac{\ln 2}{16}=\frac{\ln 2}{8}$。
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