陕西师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
7．设 $f(x, y)=\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}}$ ．
（1）讨论 $f(x, y)$ 在原点处沿任何方向的导数是否均存在？
（2）讨论 $f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ 是否存在？若存在，求出其值．
（3）讨论 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处是否可微？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析函数在原点沿任意方向的方向导数是否存在
设方向单位向量为 $\mathbf{u}=(\cos\theta,\sin\theta)$，则方向导数为 $D_{\mathbf{u}}f(0,0)=\lim_{t\to 0}\frac{f(t\cos\theta,t\sin\theta)-f(0,0)}{t}$。由于 $f(0,0)=0$，且 $f(t\cos\theta,t\sin\theta)=\sqrt[3]{t^3\cos^3\theta+t^3\sin^3\theta}=t\sqrt[3]{\cos^3\theta+\sin^3\theta}$，因此差商为 $\frac{t\sqrt[3]{\cos^3\theta+\sin^3\theta}}{t}=\sqrt[3]{\cos^3\theta+\sin^3\theta}$，极限存在且为常数。
公式：$D_{\mathbf{u}}f(0,0)=\sqrt[3]{\cos^3\theta+\sin^3\theta}$
提示：注意 $t$ 可正可负，但立方根在实数域下对负数有定义，因此极限与 $t$ 符号无关。
步骤 2/3
目标：计算偏导数 $f_x(0,0)$ 和 $f_y(0,0)$
偏导数是方向导数的特例：$f_x(0,0)$ 对应 $\theta=0$，即方向 $(1,0)$，代入得 $f_x(0,0)=\sqrt[3]{1^3+0^3}=1$；$f_y(0,0)$ 对应 $\theta=\pi/2$，即方向 $(0,1)$，代入得 $f_y(0,0)=\sqrt[3]{0^3+1^3}=1$。
公式：$f_x(0,0)=1,\quad f_y(0,0)=1$
提示：偏导数存在且有限，但不可微性仍可能发生。
步骤 3/3
目标：判断函数在原点是否可微
若可微，则 $f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y=o(\sqrt{x^2+y^2})$，即 $\sqrt[3]{x^3+y^3}-x-y=o(\sqrt{x^2+y^2})$。取路径 $y=x$，则 $\sqrt[3]{x^3+x^3}=\sqrt[3]{2}x$，差为 $(\sqrt[3]{2}-2)x$，距离 $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{2}|x|$，比值 $\frac{(\sqrt[3]{2}-2)x}{\sqrt{2}|x|}$ 当 $x\to 0$ 时不趋于 $0$（例如 $x>0$ 时趋于 $\frac{\sqrt[3]{2}-2}{\sqrt{2}}\neq 0$），因此不可微。
公式：$\frac{\sqrt[3]{x^3+y^3}-x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 沿 $y=x$ 不趋于 $0$
提示：可微性要求所有方向逼近时余项都足够小，一条路径不满足即可否定。
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