陕西师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
8．求方程 $2 x^{2}+2 y^{2}+z^{2}+8 z y-z+8=0$ 所确定的隐函数 $z=z(x, y)$ 的极值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立隐函数并写出极值必要条件
设 $F(x, y, z) = 2x^2 + 2y^2 + z^2 + 8zy - z + 8 = 0$，则隐函数 $z = z(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 取极值的必要条件是 $\frac{\partial z}{\partial x} = 0$ 且 $\frac{\partial z}{\partial y} = 0$。由隐函数求导公式 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}$，$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$，故必要条件等价于 $F_x = 0$ 且 $F_y = 0$。
公式：$F_x = 0, \quad F_y = 0$
提示：注意 $F_z \neq 0$ 是隐函数存在的前提，后续需验证。
步骤 2/6
目标：计算偏导数并求解候选点
计算 $F_x = 4x$，$F_y = 4y + 8z$，$F_z = 2z + 8y - 1$。由 $F_x = 0$ 得 $x = 0$；由 $F_y = 0$ 得 $4y + 8z = 0$，即 $y = -2z$。代入原方程：$2(0)^2 + 2(-2z)^2 + z^2 + 8z(-2z) - z + 8 = 0$，化简得 $8z^2 + z^2 - 16z^2 - z + 8 = -7z^2 - z + 8 = 0$，即 $7z^2 + z - 8 = 0$。解得 $z = 1$ 或 $z = -\frac{8}{7}$。对应地：当 $z=1$ 时 $y=-2$，得点 $P_1(0, -2, 1)$；当 $z=-\frac{8}{7}$ 时 $y=\frac{16}{7}$，得点 $P_2(0, \frac{16}{7}, -\frac{8}{7})$。
公式：$7z^2 + z - 8 = 0$
提示：代入化简时注意各项系数，避免符号错误。
步骤 3/6
目标：推导驻点处二阶偏导公式
在驻点处 $z_x = 0, z_y = 0$，对隐函数求导公式继续求偏导可得：$F_{xx} + F_z z_{xx} = 0$，$F_{yy} + F_z z_{yy} = 0$，$F_{xy} + F_z z_{xy} = 0$。因此 $z_{xx} = -\frac{F_{xx}}{F_z}$，$z_{yy} = -\frac{F_{yy}}{F_z}$，$z_{xy} = -\frac{F_{xy}}{F_z}$。计算 $F_{xx}=4$，$F_{yy}=4$，$F_{xy}=0$。
公式：$z_{xx} = -\frac{F_{xx}}{F_z}, \quad z_{yy} = -\frac{F_{yy}}{F_z}, \quad z_{xy} = -\frac{F_{xy}}{F_z}$
提示：此公式仅在驻点处成立，一般点需保留更多项。
步骤 4/6
目标：判断第一个候选点 $P_1(0,-2,1)$ 的极值类型
在 $P_1$ 处，$F_z = 2(1) + 8(-2) - 1 = 2 - 16 - 1 = -15 \neq 0$。计算 $A = z_{xx} = -\frac{4}{-15} = \frac{4}{15}$，$C = z_{yy} = -\frac{4}{-15} = \frac{4}{15}$，$B = z_{xy} = 0$。判别式 $AC - B^2 = \frac{4}{15} \cdot \frac{4}{15} - 0 = \frac{16}{225} > 0$，且 $A > 0$，故该点为极小值点，极小值 $z = 1$。
公式：$AC - B^2 = \frac{16}{225} > 0, \quad A > 0$
提示：注意 $F_z$ 的符号影响 $A, C$ 的正负，需准确计算。
步骤 5/6
目标：判断第二个候选点 $P_2(0, \frac{16}{7}, -\frac{8}{7})$ 的极值类型
在 $P_2$ 处，$F_z = 2(-\frac{8}{7}) + 8 \cdot \frac{16}{7} - 1 = -\frac{16}{7} + \frac{128}{7} - 1 = \frac{112}{7} - 1 = 16 - 1 = 15 \neq 0$。计算 $A = z_{xx} = -\frac{4}{15}$，$C = z_{yy} = -\frac{4}{15}$，$B = 0$。判别式 $AC - B^2 = \frac{16}{225} > 0$，且 $A < 0$，故该点为极大值点，极大值 $z = -\frac{8}{7}$。
公式：$AC - B^2 = \frac{16}{225} > 0, \quad A < 0$
提示：注意 $F_z$ 为正时，$A, C$ 为负，与 $P_1$ 情况相反。
步骤 6/6
目标：总结极值结果
隐函数 $z = z(x, y)$ 在点 $(0, -2)$ 处取得极小值 $z = 1$；在点 $(0, \frac{16}{7})$ 处取得极大值 $z = -\frac{8}{7}$。
公式：极小值：$z=1$ 在 $(0,-2)$；极大值：$z=-\frac{8}{7}$ 在 $(0,\frac{16}{7})$
提示：注意极值点坐标是 $(x,y)$，不要写成 $(x,y,z)$。
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