陕西师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
9．设 $u_{n} \neq 0$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{u_{n}}=1$ ．讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(=1)^{n+1}\left(\frac{1}{u_{n}}+\frac{1}{u_{n+1}}\right)$ 是否绝对收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解已知条件
已知 $u_n \neq 0$，且 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n}{u_n} = 1$。这意味着当 $n$ 充分大时，$u_n \sim n$。由极限定义，对 $\varepsilon = \frac{1}{2}$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，有 $\left| \frac{n}{u_n} - 1 \right| < \frac{1}{2}$，从而 $\frac{1}{2} < \frac{n}{u_n} < \frac{3}{2}$。由此可得 $\frac{2}{3n} < \frac{1}{|u_n|} < \frac{2}{n}$，即 $\frac{1}{|u_n|}$ 与 $\frac{1}{n}$ 同阶。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{n}{u_n} = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} < \frac{n}{u_n} < \frac{3}{2} \ (n > N)
提示：注意极限条件给出的是 $u_n$ 与 $n$ 的比值趋近于1，因此 $u_n$ 最终与 $n$ 同号且绝对值与 $n$ 同阶。
步骤 2/5
目标：明确要判断的问题
原级数为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\left(\frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_{n+1}}\right)$。判断其是否绝对收敛，即判断正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_{n+1}} \right|$ 是否收敛。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \left| (-1)^{n+1}\left(\frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_{n+1}}\right) \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_{n+1}} \right|
提示：绝对收敛的定义是原级数各项取绝对值后形成的级数收敛。
步骤 3/5
目标：分析通项绝对值的渐近行为
由 $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{u_n}=1$ 知，当 $n$ 充分大时，$u_n$ 与 $n$ 同号（因为极限为正数1）。不妨设存在 $N$，当 $n > N$ 时，$u_n > 0$ 且 $u_{n+1} > 0$。于是 $\frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_{n+1}} > 0$，绝对值可去掉。又由 $\frac{1}{2} < \frac{n}{u_n} < \frac{3}{2}$ 可得 $\frac{1}{u_n} > \frac{1}{2n}$，同理 $\frac{1}{u_{n+1}} > \frac{1}{2(n+1)}$。因此 $\left| \frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_{n+1}} \right| > \frac{1}{2n} + \frac{1}{2(n+1)} > \frac{1}{2n}$。
公式：\left| \frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_{n+1}} \right| > \frac{1}{2n} \quad (n \text{充分大})
提示：关键步骤：由极限条件推出 $u_n$ 最终恒正，从而同号相加绝对值等于绝对值之和。
步骤 4/5
目标：利用比较判别法判断发散性
由上述不等式，从某项 $N$ 开始，有 $\left| \frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_{n+1}} \right| > \frac{1}{2n}$。而调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n}$ 发散（因为 $\sum \frac{1}{n}$ 发散）。根据比较判别法，若一个正项级数的通项大于一个发散级数的通项，则该级数也发散。因此 $\sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_{n+1}} \right|$ 发散。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n} \text{发散} \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_{n+1}} \right| \text{发散}
提示：比较判别法要求通项非负且不等式方向正确，这里 $\frac{1}{2n}$ 是发散的，因此原级数不绝对收敛。
步骤 5/5
目标：得出结论
由于正项级数 $\sum \left| \frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_{n+1}} \right|$ 发散，故原级数 $\sum (-1)^{n+1}\left(\frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_{n+1}}\right)$ 不绝对收敛。题目仅询问是否绝对收敛，因此回答：该级数不是绝对收敛的。
公式：\text{结论：}\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\left(\frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_{n+1}}\right) \text{不绝对收敛}
提示：注意：不绝对收敛不代表发散，它可能条件收敛，但本题只要求判断绝对收敛性。
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