上海理工大学 2024年数学分析第12题
📝 题目
12．已知 $\displaystyle f(x)$ 二阶可导，$\displaystyle f(x) \leq \frac{1}{2}[f(x-h)+f(x+h)]$ ，证明 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：转化已知不等式
已知 $f(x) \leq \frac{1}{2}[f(x-h)+f(x+h)]$ 对所有 $h$ 成立，两边乘以2并移项得 $f(x+h)-2f(x)+f(x-h) \geq 0$。
公式：$f(x+h)-2f(x)+f(x-h) \geq 0$
提示：注意不等式方向，乘以正数2不改变不等号方向。
步骤 2/7
目标：应用泰勒公式展开
由于 $f$ 二阶可导，在 $x$ 处展开：
$$f(x+h) = f(x) + f'(x)h + \frac{1}{2}f''(x)h^2 + o(h^2),$$
$$f(x-h) = f(x) - f'(x)h + \frac{1}{2}f''(x)h^2 + o(h^2).$$
公式：$f(x\pm h) = f(x) \pm f'(x)h + \frac{1}{2}f''(x)h^2 + o(h^2)$
提示：注意 $o(h^2)$ 表示高阶无穷小，展开到二阶项。
步骤 3/7
目标：求和得到二阶差分的表达式
将两个泰勒展开相加：
$$f(x+h)+f(x-h) = 2f(x) + f''(x)h^2 + o(h^2).$$
公式：$f(x+h)+f(x-h) = 2f(x) + f''(x)h^2 + o(h^2)$
提示：一阶导数项抵消，只剩下二阶项。
步骤 4/7
目标：代入不等式
将上式代入 $f(x) \leq \frac{1}{2}[f(x+h)+f(x-h)]$ 得：
$$f(x) \leq \frac{1}{2}[2f(x) + f''(x)h^2 + o(h^2)] = f(x) + \frac{1}{2}f''(x)h^2 + o(h^2).$$
公式：$f(x) \leq f(x) + \frac{1}{2}f''(x)h^2 + o(h^2)$
提示：注意 $o(h^2)$ 是整体，不能直接消去。
步骤 5/7
目标：化简不等式
两边减去 $f(x)$ 得：
$$0 \leq \frac{1}{2}f''(x)h^2 + o(h^2).$$
公式：$0 \leq \frac{1}{2}f''(x)h^2 + o(h^2)$
提示：移项时注意不等号方向不变。
步骤 6/7
目标：除以 $h^2$ 并取极限
对于 $h \neq 0$，两边除以 $h^2$：
$$0 \leq \frac{1}{2}f''(x) + \frac{o(h^2)}{h^2}.$$
令 $h \to 0$，由于 $\lim_{h\to 0}\frac{o(h^2)}{h^2}=0$，得 $0 \leq \frac{1}{2}f''(x)$。
公式：$\lim_{h\to 0}\frac{o(h^2)}{h^2}=0$
提示：极限运算中，高阶无穷小除以 $h^2$ 极限为0。
步骤 7/7
目标：得出结论
由 $0 \leq \frac{1}{2}f''(x)$ 得 $f''(x) \geq 0$。
提示：注意乘以2不改变不等号方向。
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