东南大学 2020年数学分析第12题

第一个曲面是旋转抛物面：$x^2 + y^2 = 4z$，开口向上，顶点在原点。第二个是椭圆柱面：$x^2 + xy + y^2 = 4$，母线平行于 $z$ 轴，截面为倾斜椭圆。它们的交线是一条空间曲线，需要求该曲线上点到原点的最近和最远距离。

设点坐标为 $(x,y,z)$，到原点距离平方为 $d^2 = x^2 + y^2 + z^2$。在约束条件 $x^2 + y^2 = 4z$ 和 $x^2 + xy + y^2 = 4$ 下求 $d^2$ 的极值。由于距离非负，极值点与 $d^2$ 的极值点一致，采用拉格朗日乘数法。

设 $g_1 = x^2 + y^2 - 4z = 0$，$g_2 = x^2 + xy + y^2 - 4 = 0$。构造拉格朗日函数：$L = x^2 + y^2 + z^2 + \lambda (x^2 + y^2 - 4z) + \mu (x^2 + xy + y^2 - 4)$。求偏导： $\frac{\partial L}{\partial x} = 2x + 2\lambda x + \mu(2x + y) = 0$，即 $2x(1+\lambda+\mu) + \mu y = 0$ (1) $\frac{\partial L}{\partial y} = 2y + 2\lambda y + \mu(x + 2y) = 0$，即 $2y(1+\lambda+\mu) + \mu x = 0$ (2) $\frac{\partial L}{\partial z} = 2z - 4\lambda = 0$，即 $z = 2\lambda$ (3)

将 (1)(2) 视为关于 $x,y$ 的线性齐次方程组： $\begin{cases} 2(1+\lambda+\mu)x + \mu y = 0 \\ \mu x + 2(1+\lambda+\mu)y = 0 \end{cases}$ 若 $(x,y) \neq (0,0)$，则系数行列式为零： $\begin{vmatrix} 2(1+\lambda+\mu) & \mu \\ \mu & 2(1+\lambda+\mu) \end{vmatrix} = 0$ 即 $4(1+\lambda+\mu)^2 - \mu^2 = 0$，解得 $2(1+\lambda+\mu) = \pm \mu$。

由 $2(1+\lambda+\mu) = \mu$ 得 $\mu = -2 - 2\lambda$。代入 (1) 得 $(-2-2\lambda)(x+y)=0$。若 $-2-2\lambda \neq 0$，则 $x+y=0$，即 $y=-x$。代入椭圆柱面方程：$x^2 - x^2 + x^2 = x^2 = 4$，得 $x = \pm 2$，$y = \mp 2$。再由抛物面：$x^2+y^2=8=4z$，得 $z=2$。由 (3) $z=2\lambda$ 得 $\lambda=1$，$\mu=-4$。得到两点 $(2,-2,2)$ 和 $(-2,2,2)$，距离平方 $d^2=4+4+4=12$，距离 $2\sqrt{3}$。

由 $2(1+\lambda+\mu) = -\mu$ 得 $\mu = -\frac{2+2\lambda}{3}$。计算 $1+\lambda+\mu = \frac{1+\lambda}{3}$，代入 (1) 得 $\frac{2(1+\lambda)}{3}x - \frac{2(1+\lambda)}{3}y = 0$，即 $2(1+\lambda)(x-y)=0$。若 $1+\lambda \neq 0$，则 $x=y$。代入椭圆柱面：$3x^2=4$，得 $x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$，$y = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$（同号）。由抛物面：$x^2+y^2 = \frac{8}{3} = 4z$，得 $z = \frac{2}{3}$。由 (3) $z=2\lambda$ 得 $\lambda = \frac{1}{3}$，$\mu = -\frac{8}{9}$。得到两点 $(\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{2}{3})$ 和 $(-\frac{2}{\sqrt{3}},-\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{2}{3})$，距离平方 $d^2 = \frac{4}{3}+\frac{4}{3}+\frac{4}{9} = \frac{28}{9}$，距离 $\frac{2\sqrt{7}}{3}$。

两类候选点的距离：第一类 $2\sqrt{3} \approx 3.464$，第二类 $\frac{2\sqrt{7}}{3} \approx 1.764$。因此最近距离为 $\frac{2\sqrt{7}}{3}$，最远距离为 $2\sqrt{3}$。

将 $x=y$ 代入椭圆柱面约束 $x^2+xy+y^2=4$，得 $3x^2=4$，故 $x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$，$y = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$。代入抛物面约束 $x^2+y^2=4z$，得 $\frac{8}{3}=4z$，故 $z=\frac{2}{3}$。由 $z=2\lambda$ 得 $\lambda=\frac{1}{3}$。此时距离平方 $d^2 = x^2+y^2+z^2 = \frac{8}{3} + \frac{4}{9} = \frac{28}{9}$，距离 $d = \frac{2\sqrt{7}}{3}$。

两个可能的距离为 $2\sqrt{3} \approx 3.464$ 和 $\frac{2\sqrt{7}}{3} \approx 1.764$。较小者为最近距离，较大者为最远距离。因此最近距离为 $\frac{2\sqrt{7}}{3}$，最远距离为 $2\sqrt{3}$。