东南大学 2020年数学分析第2题
📝 题目
2．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \int_{\sin x}^{1} \frac{\ln t}{t} d t$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算定积分 ∫_{sin x}^{1} (ln t)/t dt
先求不定积分：令 u = ln t，则 du = (1/t) dt，因此 ∫ (ln t)/t dt = ∫ u du = u²/2 + C = (ln t)²/2 + C。代入上下限：∫_{sin x}^{1} (ln t)/t dt = [(ln t)²/2]_{t=sin x}^{t=1} = (ln 1)²/2 - (ln(sin x))²/2 = 0 - (ln(sin x))²/2 = - (ln(sin x))²/2。
公式：\int \frac{\ln t}{t} dt = \frac{(\ln t)^2}{2} + C
提示：注意 ln 1 = 0，代入上限时结果为0，不要忘记负号。
步骤 2/5
目标：将积分结果代入原极限表达式
原极限为 lim_{x→0⁺} x * ∫_{sin x}^{1} (ln t)/t dt = lim_{x→0⁺} x * [ - (ln(sin x))²/2 ] = -1/2 * lim_{x→0⁺} x (ln(sin x))²。
公式：\lim_{x \to 0^+} x \int_{\sin x}^{1} \frac{\ln t}{t} dt = -\frac{1}{2} \lim_{x \to 0^+} x (\ln(\sin x))^2
提示：将常数因子 -1/2 提到极限外面，简化计算。
步骤 3/5
目标：利用等价无穷小替换 sin x ~ x
当 x→0⁺ 时，sin x ~ x，因此 ln(sin x) ~ ln x。于是极限近似为 -1/2 * lim_{x→0⁺} x (ln x)²。注意：这里需要验证替换的合理性，因为 ln 函数在零点附近行为一致，且极限存在时等价替换有效。
公式：\sin x \sim x \quad (x \to 0^+), \quad \ln(\sin x) \sim \ln x
提示：等价无穷小替换仅适用于乘除因子，此处 ln(sin x) 作为整体平方，替换后极限不变，但需注意 ln(sin x) 趋于 -∞，与 ln x 趋势一致。
步骤 4/5
目标：计算极限 lim_{x→0⁺} x (ln x)²
令 t = ln x，则 x = e^t，当 x→0⁺ 时，t→ -∞。于是 x (ln x)² = e^t * t²。求极限 lim_{t→ -∞} t² e^t = 0，因为指数函数 e^t 衰减速度远快于多项式 t² 的增长。因此原极限为 0。
公式：\lim_{x \to 0^+} x (\ln x)^2 = \lim_{t \to -\infty} t^2 e^t = 0
提示：这是经典极限，可用洛必达法则或变量替换证明，注意指数衰减主导。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
将上一步结果代入：-1/2 * 0 = 0。因此原极限为 0。
公式：\boxed{0}
提示：最终结果简洁，但需确保每一步变换的严谨性。
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