东南大学 2020年数学分析第6题
📝 题目
6．求积分 $\displaystyle \int_{0}^{-\infty} e^{-p x} \frac{\sin b x-\sin a x}{x} d x$ ，其中，$\displaystyle p>0, b>a>0$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：调整积分限，将积分化为标准形式
原积分限为 $\int_0^{-\infty}$，令 $t = -x$，则 $dx = -dt$，当 $x=0$ 时 $t=0$，当 $x \to -\infty$ 时 $t \to +\infty$。代入得：
$$
\int_0^{-\infty} e^{-px} \frac{\sin bx - \sin ax}{x} dx = \int_0^{+\infty} e^{pt} \frac{\sin bt - \sin at}{t} dt.
$$
由于 $p>0$，$e^{pt}$ 在 $t\to+\infty$ 时发散，原积分发散。因此合理推断题目本意是积分上限为 $+\infty$，即求解：
$$
I = \int_0^{+\infty} e^{-px} \frac{\sin bx - \sin ax}{x} dx, \quad p>0, b>a>0.
$$
公式：$$\int_0^{-\infty} f(x) dx = \int_0^{+\infty} f(-t) dt$$
提示：注意积分限为负无穷时，通过变量替换可能得到发散形式，需结合题目条件判断实际意图。通常此类含参积分默认上限为正无穷。
步骤 2/4
目标：利用已知积分公式将原积分拆分为两个积分之差
将原积分拆分为两个积分：
$$
I = \int_0^\infty e^{-px} \frac{\sin bx}{x} dx - \int_0^\infty e^{-px} \frac{\sin ax}{x} dx.
$$
已知常用公式（可通过拉普拉斯变换或对参数求导证明）：
$$
\int_0^\infty e^{-px} \frac{\sin kx}{x} dx = \arctan\frac{k}{p}, \quad p>0, k>0.
$$
分别令 $k=b$ 和 $k=a$，得：
$$
I = \arctan\frac{b}{p} - \arctan\frac{a}{p}.
$$
公式：$$\int_0^\infty e^{-px} \frac{\sin kx}{x} dx = \arctan\frac{k}{p}$$
提示：该公式是求解此类问题的关键，需牢记。推导时可通过设 $F(k)=\int_0^\infty e^{-px}\frac{\sin kx}{x}dx$，对 $k$ 求导后积分再积分得到。
步骤 3/4
目标：利用反正切差公式化简结果
应用反正切差公式：
$$
\arctan u - \arctan v = \arctan\frac{u-v}{1+uv}, \quad uv > -1.
$$
这里 $u = \frac{b}{p}$，$v = \frac{a}{p}$，显然 $uv = \frac{ab}{p^2} > 0$，满足条件。代入得：
$$
I = \arctan\frac{\frac{b}{p} - \frac{a}{p}}{1 + \frac{ab}{p^2}} = \arctan\frac{\frac{b-a}{p}}{\frac{p^2+ab}{p^2}} = \arctan\frac{p(b-a)}{p^2+ab}.
$$
公式：$$\arctan u - \arctan v = \arctan\frac{u-v}{1+uv}$$
提示：使用反正切差公式时需注意 $uv > -1$ 的条件，此处 $u,v>0$ 自然满足。最终结果应化简为最简形式。
步骤 4/4
目标：给出最终答案
因此，在积分上限修正为 $+\infty$ 的合理假设下，原积分的值为：
$$
\boxed{\arctan\frac{p(b-a)}{p^2+ab}}.
$$
若严格按原题 $0$ 到 $-\infty$ 的积分限，则积分发散，无有限值。
公式：$$\int_0^\infty e^{-px} \frac{\sin bx - \sin ax}{x} dx = \arctan\frac{p(b-a)}{p^2+ab}$$
提示：最终答案需用方框标出，并注明积分限的合理性假设，避免歧义。
步骤 5/5
目标：给出最终答案
原积分（修正后）的结果为：
$$\boxed{\arctan\frac{(b-a)p}{p^2+ab}}$$
提示：若题目确为 $0$ 到 $-\infty$，可令 $t=-x$ 转化为 $\int_{0}^{\infty} e^{p t} \frac{\sin(-b t)-\sin(-a t)}{-t} dt$，但 $p>0$ 时发散，故不成立。
步骤 6/6
目标：计算定积分并得出结果
计算：
$$\int \frac{p}{p^2 + t^2} \, dt = \arctan\left(\frac{t}{p}\right) + C$$
代入上下限：
$$I = \left[ \arctan\left(\frac{t}{p}\right) \right]_{t=a}^{t=b} = \arctan\left(\frac{b}{p}\right) - \arctan\left(\frac{a}{p}\right)$$
公式：$$I = \arctan\frac{b}{p} - \arctan\frac{a}{p}$$
提示：由于$b>a>0$，$p>0$，结果为正，符合积分预期。
步骤 7/7
目标：代回原积分并化简
由 $I(t) = \arctan(t/p)$，得 $I(a) = \arctan(a/p)$，$I(b) = \arctan(b/p)$，因此原积分
$$I = I(a) - I(b) = \arctan\left(\frac{a}{p}\right) - \arctan\left(\frac{b}{p}\right).$$
提示：注意结果中a和b的顺序，由于b>a>0，结果为负值。
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