东南大学 2025年数学分析第5题

要证明存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 \[ \frac{f'(\xi)}{f(\xi)} = \frac{1}{a-\xi} + \frac{1}{b-\xi}. \] 将右边通分合并： \[ \frac{1}{a-\xi} + \frac{1}{b-\xi} = \frac{(b-\xi)+(a-\xi)}{(a-\xi)(b-\xi)} = \frac{a+b-2\xi}{(a-\xi)(b-\xi)}. \] 因此原等式等价于 \[ \frac{f'(\xi)}{f(\xi)} = \frac{a+b-2\xi}{(a-\xi)(b-\xi)}. \]

观察 $\frac{f'(x)}{f(x)}$ 是 $\ln|f(x)|$ 的导数，而 $\frac{1}{a-x}+\frac{1}{b-x}$ 可以写成 $-\frac{d}{dx}[\ln(a-x)+\ln(b-x)]$，因为 \[ \frac{d}{dx}\ln(a-x) = -\frac{1}{a-x},\quad \frac{d}{dx}\ln(b-x) = -\frac{1}{b-x}. \] 于是原等式等价于 \[ \frac{f'(x)}{f(x)} + \frac{d}{dx}[\ln(a-x)+\ln(b-x)] = 0, \] 即 \[ \frac{d}{dx}\big[\ln|f(x)| + \ln(a-x) + \ln(b-x)\big] = 0. \] 这提示我们构造辅助函数 \[ F(x) = f(x)(a-x)(b-x). \] 因为 $\ln|F(x)| = \ln|f(x)| + \ln(a-x) + \ln(b-x)$，其导数为零对应 $F'(x)=0$。

由于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $a-x$ 和 $b-x$ 均为多项式，故 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。 计算端点值： - $F(a) = f(a)(a-a)(b-a) = f(a) \cdot 0 \cdot (b-a) = 0$。 - $F(b) = f(b)(a-b)(b-b) = f(b)(a-b) \cdot 0 = 0$。 因此 $F(a) = F(b) = 0$。 由罗尔定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $F'(\xi) = 0$。

对 $F(x) = f(x)(a-x)(b-x)$ 求导，使用乘积法则： \[ F'(x) = f'(x)(a-x)(b-x) + f(x) \cdot \frac{d}{dx}[(a-x)(b-x)]. \] 计算 \[ \frac{d}{dx}[(a-x)(b-x)] = -(b-x) + (a-x)(-1) = -(b-x) - (a-x) = -(a+b-2x). \] 所以 \[ F'(x) = f'(x)(a-x)(b-x) - f(x)(a+b-2x). \] 由 $F'(\xi)=0$ 得 \[ f'(\xi)(a-\xi)(b-\xi) - f(\xi)(a+b-2\xi) = 0. \] 因为 $f(x) \neq 0$，且 $a<\xi

公式：\frac{f'(\xi)}{f(\xi)} = \frac{a+b-2\xi}{(a-\xi)(b-\xi)} = \frac{1}{a-\xi} + \frac{1}{b-\xi}

提示：除以 $f(\xi)$ 时需用到题目条件 $f(x) \neq 0$，确保分母不为零。