东南大学 2025年数学分析第8题
📝 题目
8、求 $\displaystyle \iiint_{\Omega}|x y| z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 是由
$$
x+z=1, x-z=1, x+y=1, x-y=1, z=0
$$
围成的区域。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析区域形状，确定积分区域
给定的五个平面为：
1. $x+z=1$，即 $z=1-x$；
2. $x-z=1$，即 $z=x-1$；
3. $x+y=1$，即 $y=1-x$；
4. $x-y=1$，即 $y=x-1$；
5. $z=0$。
由于 $z\ge 0$，从 $z=1-x$ 和 $z=x-1$ 可知 $x$ 的范围受限于 $1-x\ge 0$ 和 $x-1\ge 0$，即 $x\le 1$ 和 $x\ge 1$，同时成立只能 $x=1$，$z=0$。这说明在 $z>0$ 时，区域夹在这两个斜面之间：$x$ 从 $1-z$ 到 $1+z$。
对于 $y$，由 $y=1-x$ 和 $y=x-1$ 可知，当 $x\le 1$ 时 $y$ 从 $x-1$ 到 $1-x$；当 $x\ge 1$ 时 $y$ 从 $1-x$ 到 $x-1$。区间长度均为 $2|x-1|$。
区域在 $z$ 方向从 $0$ 到最大值 $1$（当 $x=0$ 或 $x=2$ 时）。
公式：\Omega = \{(x,y,z) \mid 0\le z\le 1,\; 1-z\le x\le 1+z,\; |y|\le 1-|x-1|\}
提示：注意 $x=1$ 是对称轴，$y$ 的范围关于 $x=1$ 对称。
步骤 2/6
目标：利用对称性简化积分
公式：\iiint_\Omega |xy|z\,dV = \int_{z=0}^1 \int_{x=1-z}^{1+z} \int_{y=-(1-|x-1|)}^{1-|x-1|} |x||y|z\,dy\,dx\,dz
提示：注意 $|xy| = |x|\cdot|y|$，$x$ 在区域中可能为负，但 $|x|$ 不是关于 $x=1$ 的偶函数，需小心处理。
步骤 3/6
目标：对 $y$ 积分
对于固定的 $x$ 和 $z$，$y$ 的积分区间为 $[-a, a]$，其中 $a = 1-|x-1|$。由于被积函数关于 $y$ 是偶函数，有
\[
\int_{-a}^{a} |y|\,dy = 2\int_0^a y\,dy = a^2.
\]
因此内层积分结果为 $|x|z \cdot a^2 = |x|z\,(1-|x-1|)^2$。
公式：\int_{y=-(1-|x-1|)}^{1-|x-1|} |xy|z\,dy = |x|z\,(1-|x-1|)^2
提示：注意 $a = 1-|x-1|$ 非负，因为 $x$ 在 $[1-z,1+z]$ 内，且 $z\le 1$，所以 $|x-1|\le z\le 1$，故 $a\ge 0$。
步骤 4/6
目标：对 $x$ 积分，利用对称性分段
积分化为
\[
I = \int_{z=0}^1 z \left[ \int_{x=1-z}^{1+z} |x|\,(1-|x-1|)^2\,dx \right] dz.
\]
令 $u = x-1$，则 $x = u+1$，$|x| = |u+1|$，$|x-1| = |u|$，$dx = du$，积分限 $u$ 从 $-z$ 到 $z$。于是
\[
I = \int_{z=0}^1 z \left[ \int_{u=-z}^{z} |u+1|\,(1-|u|)^2\,du \right] dz.
\]
由于被积函数关于 $u$ 不是偶函数，需分段积分：$u\in[-z,0]$ 时 $|u|=-u$，$|u+1|=u+1$（因为 $u\ge -z\ge -1$，所以 $u+1\ge 0$）；$u\in[0,z]$ 时 $|u|=u$，$|u+1|=u+1$。因此
\[
\int_{-z}^{z} |u+1|(1-|u|)^2 du = \int_{-z}^0 (u+1)(1+u)^2 du + \int_0^z (u+1)(1-u)^2 du.
\]
公式：I = \int_0^1 z\left[\int_{-z}^0 (u+1)(1+u)^2 du + \int_0^z (u+1)(1-u)^2 du\right] dz
提示：注意在 $u\in[-z,0]$ 时 $1-|u|=1+u$，在 $u\in[0,z]$ 时 $1-|u|=1-u$。
步骤 5/6
目标：计算内层 $u$ 的积分
先计算第一段：
\[
\int_{-z}^0 (u+1)(1+u)^2 du = \int_{-z}^0 (u+1)^3 du = \left[ \frac{(u+1)^4}{4} \right]_{-z}^0 = \frac{1}{4} - \frac{(1-z)^4}{4}.
\]
第二段：
\[
\int_0^z (u+1)(1-u)^2 du = \int_0^z (u+1)(1 - 2u + u^2) du = \int_0^z (u+1 - 2u^2 - 2u + u^3 + u^2) du
\]
化简被积函数：$(u+1)(1-u)^2 = (u+1)(1 - 2u + u^2) = u - 2u^2 + u^3 + 1 - 2u + u^2 = 1 - u - u^2 + u^3$。
积分得：
\[
\int_0^z (1 - u - u^2 + u^3) du = \left[ u - \frac{u^2}{2} - \frac{u^3}{3} + \frac{u^4}{4} \right]_0^z = z - \frac{z^2}{2} - \frac{z^3}{3} + \frac{z^4}{4}.
\]
因此内层积分总和为：
\[
\frac{1}{4} - \frac{(1-z)^4}{4} + z - \frac{z^2}{2} - \frac{z^3}{3} + \frac{z^4}{4}.
\]
展开 $(1-z)^4 = 1 - 4z + 6z^2 - 4z^3 + z^4$，代入得：
\[
\frac{1}{4} - \frac{1}{4} + z - \frac{3}{2}z^2 + z^3 - \frac{z^4}{4} + z - \frac{z^2}{2} - \frac{z^3}{3} + \frac{z^4}{4} = 2z - 2z^2 + \frac{2}{3}z^3.
\]
公式：\int_{-z}^z |u+1|(1-|u|)^2 du = 2z - 2z^2 + \frac{2}{3}z^3
提示：合并同类项时注意符号，最终结果可因式分解为 $\frac{2}{3}z(3 - 3z + z^2)$。
步骤 6/6
目标：对 $z$ 积分得到最终结果
于是
\[
I = \int_0^1 z \cdot \left( 2z - 2z^2 + \frac{2}{3}z^3 \right) dz = \int_0^1 \left( 2z^2 - 2z^3 + \frac{2}{3}z^4 \right) dz.
\]
逐项积分：
\[
\int_0^1 2z^2 dz = \frac{2}{3},\quad \int_0^1 -2z^3 dz = -\frac{1}{2},\quad \int_0^1 \frac{2}{3}z^4 dz = \frac{2}{15}.
\]
相加得：
\[
I = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{2}{15} = \frac{20}{30} - \frac{15}{30} + \frac{4}{30} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}.
\]
公式：\iiint_\Omega |xy|z\,dV = \frac{3}{10}
提示：计算分数时通分分母为30，注意约分。
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