中国人民大学 2026年数学分析第5题
📝 题目
5．（15 分）设对于任意的正整数 $\displaystyle n, f_{n}(x)$ 均为定义在 $\displaystyle [a, b]$ 上的黎曼可积函数，且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于函数 $\displaystyle f(x)$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上的黎曼可积函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回忆黎曼可积的定义与一致收敛的性质
黎曼可积的达布和定义：函数 $g$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积，当且仅当对任意 $\varepsilon > 0$，存在一个划分 $P$，使得上达布和 $U(g,P)$ 与下达布和 $L(g,P)$ 满足 $U(g,P) - L(g,P) < \varepsilon$。\n一致收敛的定义：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，对所有 $x \in [a,b]$ 都有 $|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$。
公式：U(g,P) = \sum_{i=1}^m M_i(g) \Delta x_i, \quad L(g,P) = \sum_{i=1}^m m_i(g) \Delta x_i
提示：注意区分一致收敛与逐点收敛，一致收敛的 $N$ 与 $x$ 无关，这是后续估计的关键。
步骤 2/5
目标：利用一致收敛控制误差
取任意 $\varepsilon > 0$。由一致收敛性，存在 $N$，使得对所有 $x \in [a,b]$，有 $|f_N(x) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{3(b-a)}$。由此可得：$f_N(x) - \frac{\varepsilon}{3(b-a)} < f(x) < f_N(x) + \frac{\varepsilon}{3(b-a)}$。
公式：|f_N(x) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{3(b-a)}
提示：这里选择 $f_N$ 而不是 $f_{N+1}$ 等，因为只需要一个固定的可积函数来逼近。分母 $3(b-a)$ 是为了后续积分求和时抵消区间长度。
步骤 3/5
目标：由 $f_N$ 的可积性得到划分
由于 $f_N$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积，存在一个划分 $P: a = x_0 < x_1 < \dots < x_m = b$，使得 $U(f_N,P) - L(f_N,P) < \frac{\varepsilon}{3}$。对于每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$，记 $M_i(f) = \sup_{x \in [x_{i-1},x_i]} f(x)$，$m_i(f) = \inf_{x \in [x_{i-1},x_i]} f(x)$。由第二步的不等式，在每个小区间上有：$M_i(f) \le M_i(f_N) + \frac{\varepsilon}{3(b-a)}$，$m_i(f) \ge m_i(f_N) - \frac{\varepsilon}{3(b-a)}$。
公式：M_i(f) \le M_i(f_N) + \frac{\varepsilon}{3(b-a)}, \quad m_i(f) \ge m_i(f_N) - \frac{\varepsilon}{3(b-a)}
提示：注意上下确界的估计需要小心：$f$ 的上确界不超过 $f_N$ 的上确界加上常数，下确界不小于 $f_N$ 的下确界减去常数。
步骤 4/5
目标：估计 $f$ 的上下和之差
计算上达布和：$U(f,P) = \sum_{i=1}^m M_i(f) \Delta x_i \le \sum_{i=1}^m \left( M_i(f_N) + \frac{\varepsilon}{3(b-a)} \right) \Delta x_i = U(f_N,P) + \frac{\varepsilon}{3}$。\n计算下达布和：$L(f,P) = \sum_{i=1}^m m_i(f) \Delta x_i \ge \sum_{i=1}^m \left( m_i(f_N) - \frac{\varepsilon}{3(b-a)} \right) \Delta x_i = L(f_N,P) - \frac{\varepsilon}{3}$。\n因此，$U(f,P) - L(f,P) \le \left( U(f_N,P) + \frac{\varepsilon}{3} \right) - \left( L(f_N,P) - \frac{\varepsilon}{3} \right) = (U(f_N,P) - L(f_N,P)) + \frac{2\varepsilon}{3}$。\n由第三步，$U(f_N,P) - L(f_N,P) < \frac{\varepsilon}{3}$，代入得 $U(f,P) - L(f,P) < \frac{\varepsilon}{3} + \frac{2\varepsilon}{3} = \varepsilon$。
公式：U(f,P) - L(f,P) < \varepsilon
提示：注意 $\sum \Delta x_i = b-a$，因此 $\frac{\varepsilon}{3(b-a)} \cdot (b-a) = \frac{\varepsilon}{3}$，这是常数项求和的关键。
步骤 5/5
目标：得出结论
对任意 $\varepsilon > 0$，我们找到了一个划分 $P$ 使得 $U(f,P) - L(f,P) < \varepsilon$。根据黎曼可积的达布和判别法，$f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists P \text{ 使得 } U(f,P) - L(f,P) < \varepsilon \Rightarrow f \text{ 黎曼可积}
提示：证明完成，注意这里没有用到 $f$ 的连续性或其他性质，仅依赖一致收敛和 $f_n$ 的可积性。
步骤 6/6
目标：由达布定理得出结论
由黎曼可积的达布判定准则，对任意 $\varepsilon > 0$，都存在分割 $P$ 使得 $U(f,P) - L(f,P) < \varepsilon$，因此 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积。
提示：达布定理是黎曼可积的充要条件，注意这里已经构造出了满足条件的分割。
步骤 7/7
目标：应用达布定理得出结论
由黎曼可积的判定准则（达布定理），$f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积。
提示：达布定理：函数可积当且仅当对任意 $\varepsilon>0$，存在分割使得上下和之差小于 $\varepsilon$。
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