北京工业大学 2018年数学分析第4题
📝 题目
4．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在点 $a$ 可导且 $\displaystyle f(a) \neq 0$ ，求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow s}\left[\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f(a)}\right]^{\prime \prime}$ 。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将极限转化为指数形式
设 $L = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{f(a+1/n)}{f(a)} \right)^n$。由于 $f(a) \neq 0$，取自然对数得 $\ln L = \lim_{n \to \infty} n \ln\left( \frac{f(a+1/n)}{f(a)} \right)$。
公式：\ln L = \lim_{n \to \infty} n \ln\left( \frac{f(a+1/n)}{f(a)} \right)
提示：注意 $f(a) \neq 0$ 保证了对数有意义。
步骤 2/5
目标：利用导数定义展开分子
因为 $f$ 在 $a$ 点可导，当 $h \to 0$ 时，$f(a+h) = f(a) + f'(a)h + o(h)$。令 $h = 1/n$，则 $\frac{f(a+1/n)}{f(a)} = 1 + \frac{f'(a)}{f(a)} \cdot \frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)$。
公式：\frac{f(a+1/n)}{f(a)} = 1 + \frac{f'(a)}{f(a)} \cdot \frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)
提示：注意 $o(h)$ 是比 $h$ 高阶的无穷小，这里 $h=1/n$。
步骤 3/5
目标：对对数进行展开
对 $\ln(1+x)$ 在 $x=0$ 处展开：$\ln(1+x) = x + o(x)$。代入 $x = \frac{f'(a)}{f(a)} \cdot \frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)$，得 $\ln\left( \frac{f(a+1/n)}{f(a)} \right) = \frac{f'(a)}{f(a)} \cdot \frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)$。
公式：\ln\left(1 + \frac{f'(a)}{f(a)} \cdot \frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)\right) = \frac{f'(a)}{f(a)} \cdot \frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)
提示：对数展开时只保留一阶项，高阶项合并到 $o(1/n)$ 中。
步骤 4/5
目标：计算极限并还原
代入得 $n \ln\left( \frac{f(a+1/n)}{f(a)} \right) = n \left( \frac{f'(a)}{f(a)} \cdot \frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right) = \frac{f'(a)}{f(a)} + o(1)$。当 $n \to \infty$ 时，$o(1) \to 0$，故 $\ln L = \frac{f'(a)}{f(a)}$，从而 $L = e^{f'(a)/f(a)}$。
公式：\lim_{n \to \infty} n \ln\left( \frac{f(a+1/n)}{f(a)} \right) = \frac{f'(a)}{f(a)}
提示：注意 $o(1)$ 表示趋于0的量，极限过程中消失。
步骤 5/5
目标：写出最终答案
因此，原极限为 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left[\frac{f(a+1/n)}{f(a)}\right]^n = e^{\frac{f'(a)}{f(a)}}$。
公式：\boxed{e^{\frac{f'(a)}{f(a)}}}
提示：最终结果依赖于 $f(a) \neq 0$ 和 $f$ 在 $a$ 点可导。
步骤 6/6
目标：取指数得到原极限
由 $\ln L = \frac{f'(a)}{f(a)}$ 得 $L = e^{\frac{f'(a)}{f(a)}}$。因此原极限为 $e^{\frac{f'(a)}{f(a)}}$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \left[\frac{f(a+1/n)}{f(a)}\right]^n = e^{\frac{f'(a)}{f(a)}}$
提示：注意指数运算的正确性。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。