北京工业大学 2025年数学分析第4题
📝 题目
4、（15 分）证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty}[b x-f(x)]=0 \text {, 其中 } b \text { 是非零常数. }
$$
则函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件与证明目标
已知 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，且 $\lim_{x\to +\infty}[bx-f(x)]=0$，其中 $b\neq 0$。要证明 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，即对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in[a,+\infty)$，当 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。
公式：\lim_{x\to +\infty}[bx-f(x)]=0
提示：注意极限条件表明 $f(x)$ 在无穷远处近似于线性函数 $bx$，这是证明的关键。
步骤 2/5
目标：利用极限条件控制尾部区间
对任意给定的 $\varepsilon>0$，由极限定义，存在 $N>a$，使得当 $x>N$ 时，$|bx-f(x)|<\frac{\varepsilon}{3}$。于是对任意 $x_1,x_2>N$，有
$$
|f(x_1)-f(x_2)| \le |bx_1-f(x_1)| + |b||x_1-x_2| + |bx_2-f(x_2)| < \frac{\varepsilon}{3} + |b||x_1-x_2| + \frac{\varepsilon}{3}.
$$
取 $\delta_1 = \frac{\varepsilon}{3|b|}$，则当 $|x_1-x_2|<\delta_1$ 且 $x_1,x_2>N$ 时，$|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。因此 $f(x)$ 在 $[N,+\infty)$ 上一致连续。
公式：|f(x_1)-f(x_2)| \le |b||x_1-x_2| + \frac{2\varepsilon}{3}
提示：这里需要利用极限的 $\varepsilon/3$ 技巧，将误差项控制到足够小，以便后续合并。
步骤 3/5
目标：处理有限闭区间部分
考虑闭区间 $[a, N+1]$。由于 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，故在 $[a, N+1]$ 上连续。由闭区间上连续函数必一致连续的性质，存在 $\delta_2>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in[a, N+1]$，当 $|x_1-x_2|<\delta_2$ 时，有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。
公式：\text{闭区间上连续函数一致连续}
提示：注意区间端点取 $N+1$ 是为了与尾部区间有重叠，便于后续合并。
步骤 4/5
目标：合并两个区间并处理跨区间情形
取 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2, 1)$。对任意 $x_1,x_2\in[a,+\infty)$ 满足 $|x_1-x_2|<\delta$，分三种情况讨论：
- 若 $x_1,x_2\in[a, N+1]$，由步骤2得 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。
- 若 $x_1,x_2\in[N,+\infty)$，由步骤1得 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。
- 若一个小于 $N$，另一个大于 $N$，由于 $|x_1-x_2|<\delta\le 1$，两者必同时落在 $[N-1, N+1]$ 内（因为从小于 $N$ 的一侧最多跨到小于 $N+1$），而 $[N-1, N+1]$ 是闭区间，$f$ 在其上连续从而一致连续，故也有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。
因此，对任意 $x_1,x_2\in[a,+\infty)$，只要 $|x_1-x_2|<\delta$，就有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$，即 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。
公式：\delta = \min(\delta_1, \delta_2, 1)
提示：跨区间情形需要利用 $\delta\le 1$ 保证两点落在重叠的紧区间内，从而利用闭区间一致连续性。
步骤 5/5
目标：总结结论
由上述推导，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$ 使得一致连续定义成立，故 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。
提示：证明的关键是分割区间：有限部分用闭区间一致连续，无穷远处用极限条件转化为线性函数控制。
步骤 6/6
目标：结论
综上，函数 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上一致连续。证明完成。
提示：本题的关键技巧是将无穷区间问题转化为有限闭区间（用康托定理）和渐近直线部分（用极限条件）分别处理，再通过重叠区间合并。
步骤 7/7
目标：得出结论
综上，对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta = \min\{\delta_1, \delta_2, 1\} > 0\)，使得对任意 \(x_1, x_2 \in [a, +\infty)\)，只要 \(|x_1 - x_2| < \delta\)，就有 \(|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon\)。因此函数 \(f(x)\) 在 \([a, +\infty)\) 上一致连续。
公式：\text{结论: } f(x) \text{ 在 } [a, +\infty) \text{ 上一致连续}
提示：证明的关键在于利用极限条件将无穷远处的行为线性化，并结合有限闭区间的一致连续性，通过分割区间和 \(\varepsilon/3\) 技巧完成证明。
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