北京工业大学 2025年数学分析第9题
📝 题目
9、（15 分）求函数 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln \left(1+y^{3}\right)}{y^{x}} \mathrm{~d} y$ 的定义域．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析积分收敛性的两个关键点
被积函数为 $\frac{\ln(1+y^3)}{y^x}$，积分区间为 $(0,+\infty)$。反常积分可能发散的点有两个：$y\to 0^+$ 时分母 $y^x$ 可能导致发散，$y\to +\infty$ 时可能因衰减不够快而发散。因此需要分别考虑 $y\to 0^+$ 和 $y\to +\infty$ 两段的收敛性。
提示：注意反常积分需要分段讨论，不能直接对整个区间积分。
步骤 2/4
目标：分析 $y \to 0^+$ 时的渐近行为
当 $y\to 0^+$ 时，$\ln(1+y^3) \sim y^3$，因此被积函数近似为 $\frac{y^3}{y^x}=y^{3-x}$。考虑积分 $\int_0^\delta y^{3-x}dy$ 的收敛性，幂函数 $y^p$ 在 $0$ 附近可积的条件是 $p>-1$，即 $3-x > -1$，解得 $x<4$。
公式：$\ln(1+y^3) \sim y^3 \quad (y\to 0^+)$
提示：易错：注意 $\ln(1+y^3)$ 的展开是 $y^3$ 而不是 $y$，因为 $y^3$ 是主要项。
步骤 3/4
目标：分析 $y \to +\infty$ 时的渐近行为
当 $y\to +\infty$ 时，$\ln(1+y^3) \sim 3\ln y$，因此被积函数近似为 $\frac{3\ln y}{y^x}$。考虑积分 $\int^{+\infty} \frac{\ln y}{y^x}dy$ 的收敛性，由于对数增长慢于任何幂函数，主要取决于幂次：需要 $x>1$ 才能保证收敛（$x=1$ 时发散，$x<1$ 时发散更快）。
公式：$\ln(1+y^3) \sim 3\ln y \quad (y\to +\infty)$
提示：易错：不要误以为 $\ln y$ 会影响幂次条件，实际上只要 $x>1$ 即可，$x=1$ 时积分发散。
步骤 4/4
目标：综合两段条件得到定义域
由 $y\to 0^+$ 得到 $x<4$，由 $y\to +\infty$ 得到 $x>1$。两者需同时成立，因此 $1
公式：$1 < x < 4$
提示：注意边界点需要单独验证，不能直接由不等式得出包含关系。
步骤 5/5
目标：得出最终定义域
综合以上分析，函数 f(x) 的定义域为开区间 (1,4)。
公式：\boxed{(1,4)}
提示：定义域通常用区间表示，注意是开区间。
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