北京工业大学 2026年数学分析第1题
📝 题目
1．应用柯西准则证明 $\displaystyle \left\{1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right\}$ 收敛并求极限．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义数列并说明单调性
设数列 \(\{x_n\}\) 为 \(x_n = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!}\)。由于每一项都是正数，显然 \(x_{n+1} = x_n + \frac{1}{(n+1)!} > x_n\)，故数列单调递增。
公式：x_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}
提示：注意 \(1 = \frac{1}{0!}\)，这样求和从 \(k=0\) 开始更规范。
步骤 2/5
目标：回忆柯西收敛准则
数列 \(\{x_n\}\) 收敛的充要条件是：对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在正整数 \(N\)，使得当 \(m > n > N\) 时，有 \(|x_m - x_n| < \varepsilon\)。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall m > n > N: |x_m - x_n| < \varepsilon
提示：柯西准则不依赖数列的单调性，是更一般的收敛判别法。
步骤 3/5
目标：估计差值的上界
设 \(m > n\)，则 \(x_m - x_n = \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+2)!} + \cdots + \frac{1}{m!}\)。对 \(k \ge n+1\)，有 \(k! \ge (n+1)! \cdot 2^{k-(n+1)}\)（因为从 \(n+2\) 起每个因子至少为 \(2\)），因此 \(\frac{1}{k!} \le \frac{1}{(n+1)!} \cdot \frac{1}{2^{k-(n+1)}}\)。于是 \(x_m - x_n \le \frac{1}{(n+1)!} \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \cdots \right) = \frac{1}{(n+1)!} \cdot \frac{1}{1-1/2} = \frac{2}{(n+1)!}\)。
公式：x_m - x_n \le \frac{2}{(n+1)!}
提示：放缩时注意等比数列求和公式，公比 \(\frac{1}{2}\) 保证级数收敛。
步骤 4/5
目标：应用柯西准则证明收敛
对任意给定的 \(\varepsilon > 0\)，取正整数 \(N\) 使得 \(\frac{2}{(N+1)!} < \varepsilon\)（这样的 \(N\) 存在，因为阶乘增长趋于无穷）。则当 \(m > n > N\) 时，有 \(|x_m - x_n| \le \frac{2}{(n+1)!} \le \frac{2}{(N+1)!} < \varepsilon\)。由柯西准则，数列 \(\{x_n\}\) 收敛。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists N: \frac{2}{(N+1)!} < \varepsilon \Rightarrow |x_m - x_n| < \varepsilon
提示：不需要具体解出 \(N\)，只需说明存在性即可。
步骤 5/5
目标：求极限
该数列是 \(e = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\) 的部分和序列，因此极限为自然常数 \(e\)。
公式：\lim_{n \to \infty} x_n = e = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}
提示：这是 \(e\) 的一种常见定义，也可通过其他方式验证极限值。
步骤 6/6
目标：总结结论
由柯西准则已证数列收敛，且极限为 $e$。因此原数列收敛于 $e$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!}\right) = e$
提示：本题同时展示了柯西准则的应用和 $e$ 的级数定义。
步骤 7/7
目标：写出最终答案
因此，数列收敛且极限为 $e$。
提示：最终答案应写为 $\boxed{e}$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。