北京工业大学 2026年数学分析第10题

题目给出的第二类曲面积分可以写成向量场通量的形式。设向量场 $\mathbf{F} = (P, Q, R)$，其中 $P = \frac{2}{x \cos^2 x}$，$Q = \frac{1}{\cos^2 y}$，$R = -\frac{1}{z \cos^2 z}$。则原积分 $I = \iint_{\Sigma} P \, dy \, dz + Q \, dz \, dx + R \, dx \, dy$，曲面 $\Sigma$ 是单位球面 $x^2+y^2+z^2=1$，取外侧。

由于曲面是封闭的球面，可考虑使用高斯散度定理：$I = \iiint_{V} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV$，其中 $V$ 是单位球体 $x^2+y^2+z^2 \le 1$。但需注意，被积函数在 $x=0$ 或 $z=0$ 处有奇点，不能直接应用高斯公式，需要先处理奇点。

奇点出现在 $x=0$ 平面和 $z=0$ 平面上，它们与球体的交集是球面上的大圆。为了应用高斯公式，我们在球体内挖去包含奇点的微小区域，例如以 $x=0$ 和 $z=0$ 平面附近的小圆柱或小半球，然后取极限。但本题中奇点位于曲面上，导致原曲面积分本身可能发散或需要主值理解。通常此类题目设计为散度为零或可抵消，但这里散度不为零，且奇点复杂，因此需要重新审视题目意图。

考虑对称性：球面关于 $x=0$ 对称，且 $P = \frac{2}{x \cos^2 x}$ 是 $x$ 的奇函数。对于外侧法向，在对称点 $(x,y,z)$ 和 $(-x,y,z)$ 处，$dy\,dz$ 的符号（即法向量的 $x$ 分量）也相反（因为外侧法向的 $x$ 分量与 $x$ 同号）。因此，$P \, dy\,dz$ 在对称点处的值互为相反数，积分可能抵消。类似地，$R \, dx\,dy$ 中 $R$ 是 $z$ 的奇函数，而 $dx\,dy$ 的符号（法向量的 $z$ 分量）与 $z$ 同号，因此该项也可能抵消。$Q \, dz\,dx$ 中 $Q$ 是 $y$ 的偶函数，但 $dz\,dx$ 的符号（法向量的 $y$ 分量）与 $y$ 同号，因此该项是 $y$ 的奇函数，积分也为零。综上，整个积分可能为零。

由于球面关于坐标平面对称，且取外侧，对于任意点 $(x,y,z)$，其关于 $x=0$ 的对称点为 $(-x,y,z)$。在该点处，法向量的 $x$ 分量与 $-x$ 同号，因此 $dy\,dz$ 的符号相反。而 $P$ 是奇函数，故 $P\,dy\,dz$ 在两点处值相等但符号相反，积分贡献抵消。同理，关于 $z=0$ 的对称性使 $R\,dx\,dy$ 抵消，关于 $y=0$ 的对称性使 $Q\,dz\,dx$ 抵消。因此整个曲面积分 $I=0$。

由于三个积分均为0，所以原曲面积分 \(I = 0\)。