北京工业大学 2026年数学分析第8题
📝 题目
8．利用三重积分计算椭球体 $\displaystyle \Omega:(x+y)^{2}+(y+z)^{2}+(z+x)^{2} \leq 1$ 的体积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：展开并化简不等式
给定椭球体方程为 $(x+y)^2 + (y+z)^2 + (z+x)^2 \le 1$。展开各项：
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，
$(y+z)^2 = y^2 + 2yz + z^2$，
$(z+x)^2 = z^2 + 2zx + x^2$。
求和得 $2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2(xy + yz + zx) \le 1$。
两边除以 2 得 $x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx \le \frac{1}{2}$。
公式：x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx \le \frac{1}{2}
提示：展开时注意每一项的系数，避免遗漏交叉项。
步骤 2/4
目标：写出二次型矩阵并求特征值
二次型 $x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx$ 对应的矩阵为 $A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}$。
特征多项式为 $\det(A - \lambda I) = 0$。由于矩阵所有对角元相等、非对角元相等，特征值为：
$\lambda_1 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2$（对应特征向量 $(1,1,1)$），
$\lambda_2 = \lambda_3 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$（二重）。
公式：\lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = \lambda_3 = \frac{1}{2}
提示：对于这种特殊矩阵，特征值可直接由对角元加（或减）非对角元得到，无需解复杂行列式。
步骤 3/4
目标：通过正交变换化为标准形
存在正交变换（不改变体积）将二次型化为标准形：$2u^2 + \frac{1}{2}v^2 + \frac{1}{2}w^2 \le \frac{1}{2}$。
两边乘以 2 得 $4u^2 + v^2 + w^2 \le 1$。
写成标准椭球方程：$\frac{u^2}{(1/2)^2} + \frac{v^2}{1^2} + \frac{w^2}{1^2} \le 1$，
即半轴长为 $a = \frac{1}{2}, \ b = 1, \ c = 1$。
公式：\frac{u^2}{(1/2)^2} + \frac{v^2}{1^2} + \frac{w^2}{1^2} \le 1
提示：正交变换保持体积不变，因此可直接用变换后的椭球计算体积。
步骤 4/4
目标：应用椭球体积公式计算体积
椭球体积公式为 $V = \frac{4\pi}{3} abc$，其中 $a, b, c$ 为半轴长。
代入 $a = \frac{1}{2}, \ b = 1, \ c = 1$ 得：
$V = \frac{4\pi}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{2\pi}{3}$。
公式：V = \frac{4\pi}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2\pi}{3}
提示：注意椭球体积公式中半轴长是各轴方向的半径长度，不要误用直径。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此，原椭球体的体积为 $\frac{2\pi}{3}$。
公式：\boxed{\frac{2\pi}{3}}
提示：检查计算过程，确保没有遗漏系数。
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