华中科技大学 2026年数学分析第6题
📝 题目
6．（10 分）区域 $\displaystyle \Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1,0 \leq z \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right\}, S=\partial \Omega$ ，正方向向外，求曲面积分
$$
\iint_{S} \cdots
$$
（具体数据忘了，是经典的 Gauss 公式应用问题）
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确使用高斯公式的条件
高斯公式（散度定理）指出：对于封闭曲面 \(S\) 取外侧方向，有
\[
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV
\]
这里假设向量场为 \(\mathbf{F} = (x, y, z)\)，则散度计算如下：
\[
\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1+1+1 = 3
\]
因此原曲面积分转化为三重积分：
\[
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_{\Omega} 3 \, dV = 3 \cdot \text{Vol}(\Omega)
\]
公式：\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV
提示：使用高斯公式前需确认曲面封闭且方向向外，本题中 \(S = \partial \Omega\) 满足条件。
步骤 2/4
目标：描述区域 \(\Omega\) 并选择坐标系
区域 \(\Omega = \left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1,\ 0 \leq z \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right\}\) 在 \(xy\) 平面上的投影是单位圆盘 \(x^2+y^2 \le 1\)，对于固定的 \((x,y)\)，\(z\) 从 \(0\) 到 \(\sqrt{x^2+y^2}\)。
采用柱坐标变换：
\[
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z
\]
其中 \(0 \le r \le 1\)，\(0 \le \theta \le 2\pi\)，且 \(0 \le z \le r\)。体积元为 \(dV = r \, dz\, dr\, d\theta\)。
公式：\text{Vol}(\Omega) = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{1} \int_{z=0}^{r} r \, dz\, dr\, d\theta
提示：注意柱坐标中 \(\sqrt{x^2+y^2}=r\)，因此 \(z\) 的上限为 \(r\)。
步骤 3/4
目标：计算三重积分求体积
先对 \(z\) 积分：
\[
\int_{z=0}^{r} dz = r
\]
再对 \(r\) 积分：
\[
\int_{r=0}^{1} r \cdot r \, dr = \int_0^1 r^2 \, dr = \left[\frac{r^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3}
\]
最后对 \(\theta\) 积分：
\[
\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{3} \, d\theta = \frac{2\pi}{3}
\]
因此区域 \(\Omega\) 的体积为 \(\frac{2\pi}{3}\)。
公式：\text{Vol}(\Omega) = \frac{2\pi}{3}
提示：积分顺序可调，但先对 \(z\) 积分最直接；注意 \(r\) 的幂次计算。
步骤 4/4
目标：代入高斯公式得出曲面积分值
由高斯公式：
\[
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = 3 \times \text{Vol}(\Omega) = 3 \times \frac{2\pi}{3} = 2\pi
\]
因此，对于向量场 \(\mathbf{F} = (x, y, z)\)，所求曲面积分为 \(2\pi\)。
公式：\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = 2\pi
提示：若实际题目中向量场不同，需重新计算散度并积分，但步骤类似。
步骤 5/6
目标：计算 $r$ 和 $\theta$ 的积分
先对 $r$ 积分：
$$
\int_{0}^{1} (3r^4 + r^3) \, dr = \left[ \frac{3}{5}r^5 + \frac{1}{4}r^4 \right]_{0}^{1} = \frac{3}{5} + \frac{1}{4} = \frac{12}{20} + \frac{5}{20} = \frac{17}{20}
$$
再对 $\theta$ 积分：
$$
\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi
$$
相乘得：
$$
I = 2\pi \cdot \frac{17}{20} = \frac{17\pi}{10}
$$
公式：$$\int_0^1 (3r^4+r^3)\,dr = \frac{17}{20},\quad \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$$
提示：计算 $r$ 积分时注意幂函数积分公式，不要遗漏系数。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此，曲面积分的值为：
$$
\iint_S (x^3\,dy\,dz + y^3\,dz\,dx + z^2\,dx\,dy) = \frac{17\pi}{10}
$$
公式：$$\boxed{\dfrac{17\pi}{10}}$$
提示：若实际被积函数不同，只需重新计算散度并积分，方法相同。
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