华中科技大学 2026年数学分析第8题
📝 题目
8．（15 分）$\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n+1}-a_{n}\right|$ 收玫， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0,\left\{b_{n}\right\}$ 的部分和有界，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件并转化为数学语言
已知：
1. 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} |a_{n+1} - a_n|$ 收敛，这意味着数列 $\{a_n\}$ 是绝对差可和的，从而 $\{a_n\}$ 是柯西列，且极限存在。
2. $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$，即极限为 0。
3. 数列 $\{b_n\}$ 的部分和 $B_N = \sum_{k=1}^{N} b_k$ 有界，即存在 $M > 0$，使得对任意正整数 $N$，有 $|B_N| \le M$。
要证明：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 收敛。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} |a_{n+1} - a_n| < \infty$，$\lim_{n\to\infty} a_n = 0$，$|\sum_{k=1}^N b_k| \le M$
提示：注意部分和有界并不要求 $b_n$ 本身收敛或趋于零，这是阿贝尔判别法的典型条件。
步骤 2/5
目标：引入部分和记号并应用阿贝尔变换
记 $B_n = \sum_{k=1}^{n} b_k$，并设 $B_0 = 0$。由条件，$|B_n| \le M$ 对所有 $n$ 成立。
应用阿贝尔变换（分部求和法）于部分和 $\sum_{k=1}^{n} a_k b_k$：
$$
\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = a_{n+1} B_n - a_1 B_0 + \sum_{k=1}^{n} (a_k - a_{k+1}) B_k.
$$
由于 $B_0 = 0$，上式简化为：
$$
\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = a_{n+1} B_n + \sum_{k=1}^{n} (a_k - a_{k+1}) B_k.
$$
公式：$\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = a_{n+1} B_n + \sum_{k=1}^{n} (a_k - a_{k+1}) B_k$
提示：阿贝尔变换是处理形如 $\sum a_k b_k$ 级数收敛性的重要工具，尤其当 $a_k$ 单调或变化可控时。
步骤 3/5
目标：分析第一项 $a_{n+1} B_n$ 的极限
由已知条件 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$，可得 $\lim_{n \to \infty} a_{n+1} = 0$。又因为 $B_n$ 有界，即 $|B_n| \le M$，所以：
$$
\lim_{n \to \infty} a_{n+1} B_n = 0.
$$
因此，当 $n \to \infty$ 时，第一项趋于 0，不影响级数的收敛性。
公式：$\lim_{n\to\infty} a_{n+1} B_n = 0$
提示：有界量乘以无穷小量仍为无穷小量，这是极限运算的基本性质。
步骤 4/5
目标：分析第二项对应的无穷级数是否收敛
考虑无穷级数 $\sum_{k=1}^{\infty} (a_k - a_{k+1}) B_k$。
由于 $|B_k| \le M$，对每一项有：
$$
|(a_k - a_{k+1}) B_k| \le M |a_k - a_{k+1}|.
$$
已知 $\sum_{k=1}^{\infty} |a_k - a_{k+1}|$ 收敛，由比较判别法可知，级数 $\sum_{k=1}^{\infty} (a_k - a_{k+1}) B_k$ 绝对收敛，从而收敛。
设其和为 $S$，则部分和 $\sum_{k=1}^{n} (a_k - a_{k+1}) B_k \to S$ 当 $n \to \infty$。
公式：$\sum_{k=1}^{\infty} |(a_k - a_{k+1}) B_k| \le M \sum_{k=1}^{\infty} |a_k - a_{k+1}| < \infty$
提示：这里使用了绝对收敛级数的比较判别法，注意 $M$ 是常数，因此不等式成立。
步骤 5/5
目标：综合两部分得出结论
原级数的部分和可写为：
$$
\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = a_{n+1} B_n + \sum_{k=1}^{n} (a_k - a_{k+1}) B_k.
$$
当 $n \to \infty$ 时，第一项 $a_{n+1} B_n \to 0$，第二项 $\sum_{k=1}^{n} (a_k - a_{k+1}) B_k \to S$（有限数）。
因此，$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} a_k b_k = S$ 存在且有限，即级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 收敛。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n = \lim_{n\to\infty} \left( a_{n+1} B_n + \sum_{k=1}^{n} (a_k - a_{k+1}) B_k \right) = S$
提示：最终结论依赖于两部分极限都存在且有限，注意第一项极限为0是必要条件。
步骤 6/6
目标：得出原级数收敛的结论
由阿贝尔变换，$\sum_{n=1}^\infty a_n b_n$ 的部分和等于边界项加上 $\sum_{k=1}^n (a_k - a_{k+1}) S_k$，边界项趋于0，而后者收敛，故原级数收敛。
提示：注意部分和极限存在即级数收敛。
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