华南理工大学 2024年数学分析第10题

首先，注意到对于固定的 $y>0$，通过变量代换 $t = xy$，有 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(xy)}{x} \, dx = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \, dt = \frac{\pi}{2}$。因此，对每个 $y>0$，该反常积分条件收敛。

考虑含参量积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(xy)}{x} \, dx$。令 $f(x,y) = \sin(xy)$，$g(x,y) = \frac{1}{x}$。对于 $y \ge y_0 > 0$，部分积分 $\displaystyle \int_{0}^{B} \sin(xy) \, dx = \frac{1 - \cos(By)}{y}$ 的绝对值 $\le \frac{2}{y} \le \frac{2}{y_0}$，与 $B$ 无关，故对 $y$ 一致有界。而 $g(x,y) = 1/x$ 关于 $x$ 单调递减且当 $x \to +\infty$ 时一致趋于 $0$（与 $y$ 无关）。由狄利克雷判别法，该积分在 $[y_0, +\infty)$ 上一致收敛。

采用反证法或直接构造反例。考虑积分尾部 $R(A,y) = \displaystyle \int_{A}^{+\infty} \frac{\sin(xy)}{x} \, dx$，作代换 $t = xy$ 得 $R(A,y) = \displaystyle \int_{Ay}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \, dt$。取 $\varepsilon = \frac{\pi}{4} > 0$，对任意大的 $A > 0$，选取 $y = \frac{1}{2A}$（充分小），则 $Ay = \frac{1}{2} < 1$，于是 $R(A,y) = \displaystyle \int_{1/2}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \, dt$。由于 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \, dt = \frac{\pi}{2}$，且 $\displaystyle \int_{0}^{1/2} \frac{\sin t}{t} \, dt$ 是一个有限正数，故 $R(A,y) > \frac{\pi}{2} - \int_{0}^{1/2} \frac{\sin t}{t} \, dt > \frac{\pi}{4}$。因此，不存在与 $y$ 无关的 $A$ 使得对所有 $y>0$ 尾部小于 $\varepsilon$，故非一致收敛。

由以上两步可知，积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(xy)}{x} \, dx$ 在 $[y_0, +\infty)$（$y_0 > 0$）上一致收敛，但在 $(0, +\infty)$ 上非一致收敛。

令 $t=xy$，则 $x=t/y$，$dx=dt/y$，积分限：当 $x=N$ 时 $t=Ny$，当 $x\to+\infty$ 时 $t\to+\infty$。于是 $R(N,y)=\int_{Ny}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \, dt$。这就是正弦积分 $\operatorname{Si}(\infty)-\operatorname{Si}(Ny)$ 的余项。

取 $y_n = \frac{1}{n}$，则 $y_n \to 0^+$。对于任意固定的 $N>0$，当 $n$ 充分大时，$Ny_n = \frac{N}{n}$ 可以任意接近 $0$。于是 $R(N, y_n) = \int_{N/n}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \, dt \to \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \, dt = \frac{\pi}{2}$（当 $n\to\infty$）。因此，无论 $N$ 取多大，总存在 $y_n$ 使得余项接近 $\pi/2$，不能一致地小于任意给定的正数，故积分在 $(0,+\infty)$ 上非一致收敛。

综上所述，积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin(xy)}{x} \, dx$ 在 $[y_0,+\infty)$（$y_0>0$）上关于 $y$ 一致收敛，但在 $(0,+\infty)$ 上非一致收敛。