华南理工大学 2024年数学分析第2题
📝 题目
2．（13 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得
$$
f(\xi)+f^{\prime}(\xi)=\frac{\mathrm{e}^{b} f(b)-\mathrm{e}^{a} f(a)}{\mathrm{e}^{b}-\mathrm{e}^{a}}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析题目结构，确定使用柯西中值定理
观察要证明的等式：$f(\xi)+f'(\xi)=\frac{e^b f(b)-e^a f(a)}{e^b-e^a}$。右边是差商形式，分子为$e^b f(b)-e^a f(a)$，分母为$e^b-e^a$，这提示我们考虑函数$F(x)=e^x f(x)$和$g(x)=e^x$，因为$F'(x)=e^x[f(x)+f'(x)]$，$g'(x)=e^x$。
公式：$F(x)=e^x f(x),\quad g(x)=e^x$
提示：注意右边分母不是$b-a$，因此不能直接用拉格朗日中值定理，而应使用柯西中值定理。
步骤 2/5
目标：验证辅助函数满足柯西中值定理条件
由题设，$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导；$e^x$是光滑函数，因此$F(x)=e^x f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导；$g(x)=e^x$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$g'(x)=e^x \neq 0$在$(a,b)$内恒成立。
公式：$F(x), g(x) \in C[a,b] \cap D(a,b),\quad g'(x) \neq 0$
提示：柯西中值定理要求分母的导数不为零，这里$e^x>0$恒成立，条件满足。
步骤 3/5
目标：应用柯西中值定理
由柯西中值定理，存在$\xi \in (a,b)$，使得
\[
\frac{F(b)-F(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{F'(\xi)}{g'(\xi)}.
\]
公式：$\frac{F(b)-F(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{F'(\xi)}{g'(\xi)}$
提示：注意定理中分母是$g(b)-g(a)$，不要写反。
步骤 4/5
目标：代入具体表达式并化简
代入$F(b)=e^b f(b)$，$F(a)=e^a f(a)$，$g(b)=e^b$，$g(a)=e^a$，$F'(\xi)=e^\xi[f(\xi)+f'(\xi)]$，$g'(\xi)=e^\xi$，得到
\[
\frac{e^b f(b)-e^a f(a)}{e^b-e^a} = \frac{e^\xi[f(\xi)+f'(\xi)]}{e^\xi} = f(\xi)+f'(\xi).
\]
公式：$\frac{e^b f(b)-e^a f(a)}{e^b-e^a} = f(\xi)+f'(\xi)$
提示：化简时注意$e^\xi$约掉，得到最终等式。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，存在$\xi \in (a,b)$，使得
\[
f(\xi)+f'(\xi)=\frac{e^b f(b)-e^a f(a)}{e^b-e^a}.
\]
命题得证。
提示：这是柯西中值定理的标准应用，注意构造辅助函数是关键。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，存在 \(\xi \in (a,b)\) 使得所证等式成立，命题得证。
公式：\exists \xi \in (a,b): f(\xi)+f'(\xi)=\frac{e^{b} f(b)-e^{a} f(a)}{e^{b}-e^{a}}
提示：本题的关键是构造辅助函数 \(e^x f(x)\) 并应用柯西中值定理。
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