华南理工大学 2024年数学分析第7题
📝 题目
7．（14 分）解答如下问题：
（1）用定义证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sin n$ 不存在．
（2）证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 极限存在，其中
$$
x_{n}=\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{(n+1)^{2}}\right)=\prod_{k=1}^{n}\left(1-\frac{1}{(k+1)^{2}}\right), n=1,2, \cdots
$$
并求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明极限不存在：假设存在并导出矛盾
假设 $\lim_{n\to\infty}\sin n = L$ 存在。取 $\varepsilon = \frac{1}{2}$，则存在 $N$，当 $n > N$ 时，$|\sin n - L| < \frac{1}{2}$。考虑 $\sin(n+1) - \sin n = 2\cos\left(n+\frac{1}{2}\right)\sin\frac{1}{2}$。由三角不等式得 $|\sin(n+1) - \sin n| \leq |\sin(n+1)-L| + |L-\sin n| < 1$。但 $|\sin(n+1)-\sin n| = 2|\cos(n+\frac{1}{2})|\sin\frac{1}{2}$，由于 $\pi$ 是无理数，$\{n \mod 2\pi\}$ 在 $[0,2\pi)$ 中稠密，故存在子列使 $|\cos(n+\frac{1}{2})|$ 任意接近 $1$，从而 $|\sin(n+1)-\sin n|$ 可大于 $1$，矛盾。因此极限不存在。
公式：$\sin(n+1)-\sin n = 2\cos\left(n+\frac{1}{2}\right)\sin\frac{1}{2}$
提示：注意利用 $\pi$ 的无理性导出稠密性，这是关键。
步骤 2/6
目标：化简通项公式
对每个因子：$1 - \frac{1}{(k+1)^2} = \frac{(k+1)^2-1}{(k+1)^2} = \frac{k(k+2)}{(k+1)^2}$。
公式：$1 - \frac{1}{(k+1)^2} = \frac{k(k+2)}{(k+1)^2}$
提示：注意分子因式分解的准确性。
步骤 3/6
目标：写出乘积的展开形式
$x_n = \prod_{k=1}^n \frac{k(k+2)}{(k+1)^2} = \frac{1\cdot3}{2^2} \cdot \frac{2\cdot4}{3^2} \cdot \frac{3\cdot5}{4^2} \cdots \frac{n(n+2)}{(n+1)^2}$。
公式：$x_n = \prod_{k=1}^n \frac{k(k+2)}{(k+1)^2}$
提示：写出前几项有助于观察规律。
步骤 4/6
目标：分子分母分别整理
分子为 $1\cdot3\cdot2\cdot4\cdot3\cdot5\cdots n\cdot(n+2) = (1\cdot2\cdot3\cdots n) \times (3\cdot4\cdot5\cdots (n+2)) = n! \cdot \frac{(n+2)!}{2!}$。分母为 $2^2\cdot3^2\cdots (n+1)^2 = [2\cdot3\cdots (n+1)]^2 = \left(\frac{(n+1)!}{1!}\right)^2 = ((n+1)!)^2$。
公式：分子 $= n! \cdot \frac{(n+2)!}{2}$，分母 $= ((n+1)!)^2$
提示：注意阶乘的化简，避免遗漏因子。
步骤 5/6
目标：化简得到 $x_n$ 的闭式表达式
$x_n = \frac{n! \cdot \frac{(n+2)!}{2}}{((n+1)!)^2} = \frac{n! \cdot (n+2)(n+1)n!}{2((n+1)n!)^2} = \frac{(n+2)(n+1)(n!)^2}{2(n+1)^2 (n!)^2} = \frac{n+2}{2(n+1)}$。
公式：$x_n = \frac{n+2}{2(n+1)}$
提示：化简时注意 $(n+2)! = (n+2)(n+1)n!$ 和 $(n+1)! = (n+1)n!$。
步骤 6/6
目标：求极限并说明极限存在
由于 $x_n = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)$，当 $n\to\infty$ 时，$\frac{1}{n+1}\to 0$，故 $\lim_{n\to\infty} x_n = \frac{1}{2}$。数列单调递减（$x_{n+1} < x_n$）且有下界 $\frac{1}{2}$，故极限存在。
公式：$\lim_{n\to\infty} x_n = \frac{1}{2}$
提示：也可直接由表达式看出极限，但需说明存在性。
步骤 7/7
目标：证明极限存在并求值
由 $x_n = \frac{n+2}{2(n+1)}$，易见 $\{x_n\}$ 单调递增（$x_{n+1} - x_n = \frac{1}{2(n+1)(n+2)} > 0$）且有上界（$x_n < \frac{1}{2}$），故极限存在。极限为 $\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{2(n+1)} = \frac{1}{2}$。
提示：单调有界定理是证明数列极限存在的常用方法。
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