南京航空航天大学 2026年数学分析第1题
📝 题目
1．计算题．
（1）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left[\left(x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}-x\right) e^{\frac{1}{x}}-\sqrt{x^{6}+1}\right]$ ．
（2）求积分 $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan ^{2} x}{1+e^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：变量替换，将x→∞转化为t→0⁺
令 \( t = \frac{1}{x} \)，则当 \( x \to \infty \) 时，\( t \to 0^{+} \)。代入原式：
\[
\lim_{t \to 0^{+}} \left[ \left( \frac{1}{t^{3}} - \frac{1}{2t^{2}} - \frac{1}{t} \right) e^{t} - \sqrt{\frac{1}{t^{6}} + 1} \right]
\]
公式：t = 1/x, x³ = 1/t³, x² = 1/t², x = 1/t
提示：注意t→0⁺，替换后要小心符号和阶数
步骤 2/4
目标：化简根号部分并展开为泰勒级数
\[
\sqrt{\frac{1}{t^{6}} + 1} = \frac{1}{t^{3}} \sqrt{1 + t^{6}} = \frac{1}{t^{3}} \left( 1 + \frac{t^{6}}{2} - \frac{t^{12}}{8} + \cdots \right) = \frac{1}{t^{3}} + \frac{t^{3}}{2} - \frac{t^{9}}{8} + \cdots
\]
公式：√(1+u) = 1 + u/2 - u²/8 + O(u³)
提示：根号展开时注意保留足够高阶项，但这里t³项已足够
步骤 3/4
目标：展开指数函数eᵗ并乘以括号多项式
\[
e^{t} = 1 + t + \frac{t^{2}}{2} + \frac{t^{3}}{6} + \frac{t^{4}}{24} + O(t^{5})
\]
括号部分：\( \frac{1}{t^{3}} - \frac{1}{2t^{2}} - \frac{1}{t} \)，逐项相乘并合并同类项：
- \( t^{-3} \)项：\( \frac{1}{t^{3}} \)
- \( t^{-2} \)项：\( -\frac{1}{2t^{2}} + \frac{1}{t^{2}} = \frac{1}{2t^{2}} \)
- \( t^{-1} \)项：\( -\frac{1}{t} - \frac{1}{2t} + \frac{1}{2t} = -\frac{1}{t} \)
- 常数项：\( -1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = -\frac{13}{12} \)
- \( t \)项：\( -\frac{t}{2} - \frac{t}{12} + \frac{t}{24} = -\frac{13t}{24} \)
- 更高阶项略
公式：eᵗ展开到t⁴项，乘法注意对齐阶数
提示：合并时逐阶整理，避免遗漏或重复
步骤 4/4
目标：将展开后的两部分相减，并取极限
相减得：
\[
\left( \frac{1}{t^{3}} + \frac{1}{2t^{2}} - \frac{1}{t} - \frac{13}{12} - \frac{13t}{24} + \cdots \right) - \left( \frac{1}{t^{3}} + \frac{t^{3}}{2} + \cdots \right) = \frac{1}{2t^{2}} - \frac{1}{t} - \frac{13}{12} + O(t)
\]
当 \( t \to 0^{+} \) 时，\( \frac{1}{2t^{2}} \to +\infty \)，\( -\frac{1}{t} \to -\infty \)，但 \( \frac{1}{2t^{2}} \) 是更高阶无穷大，故整体趋于 \( +\infty \)。
公式：极限为 +∞
提示：注意比较无穷大的阶数：1/t² 比 1/t 增长更快，因此结果发散到正无穷
步骤 5/8
目标：第一题：相减并判断极限
原极限表达式减去根号部分：
\[
\left( \frac{1}{t^3} + \frac{1}{2t^2} - \frac{1}{t} - \frac{13}{12} + o(1) \right) - \left( \frac{1}{t^3} + \frac{1}{2}t^3 + o(t^3) \right) = \frac{1}{2t^2} - \frac{1}{t} - \frac{13}{12} + o(1)
\]
当 $t \to 0^+$ 时，$\frac{1}{2t^2} \to +\infty$，$\frac{1}{t} \to +\infty$，但 $\frac{1}{2t^2}$ 增长更快，因此极限为 $+\infty$。
公式：\lim_{t \to 0^+} \left( \frac{1}{2t^2} - \frac{1}{t} \right) = +\infty
提示：注意 $\frac{1}{t^2}$ 比 $\frac{1}{t}$ 更高阶，主导极限。
步骤 6/8
目标：第二题：利用对称性构造积分和
设 $I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{\tan^2 x}{1+e^{-x}} dx$。令 $x \to -x$，则：
\[
I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{\tan^2(-x)}{1+e^{x}} dx = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{\tan^2 x}{1+e^{x}} dx
\]
两式相加得：
\[
2I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \tan^2 x \left( \frac{1}{1+e^{-x}} + \frac{1}{1+e^{x}} \right) dx
\]
公式：\frac{1}{1+e^{-x}} + \frac{1}{1+e^{x}} = 1
提示：注意 $\tan^2 x$ 是偶函数，$\tan^2(-x)=\tan^2 x$。
步骤 7/8
目标：第二题：化简被积函数
计算括号内：
\[
\frac{1}{1+e^{-x}} + \frac{1}{1+e^{x}} = \frac{e^x}{e^x+1} + \frac{1}{1+e^x} = \frac{e^x+1}{e^x+1} = 1
\]
因此：
\[
2I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \tan^2 x \, dx
\]
公式：\frac{1}{1+e^{-x}} = \frac{e^x}{1+e^x}
提示：此技巧常用于处理含 $e^{-x}$ 的对称区间积分。
步骤 8/8
目标：第二题：计算积分并得到结果
由于 $\tan^2 x$ 是偶函数：
\[
\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \tan^2 x \, dx = 2 \int_{0}^{\pi/4} \tan^2 x \, dx
\]
利用恒等式 $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$：
\[
2 \int_{0}^{\pi/4} (\sec^2 x - 1) \, dx = 2 \left[ \tan x - x \right]_{0}^{\pi/4} = 2 \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right)
\]
所以 $2I = 2 - \frac{\pi}{2}$，即：
\[
I = 1 - \frac{\pi}{4}
\]
公式：\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C
提示：注意 $\tan(\pi/4)=1$，代入上下限时小心。
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