南京航空航天大学 2026年数学分析第10题

给定 $u = x^2 - y^2$, $v = 2xy$。由链式法则： $z_x = z_u u_x + z_v v_x$，$z_y = z_u u_y + z_v v_y$。 计算：$u_x = 2x$, $u_y = -2y$, $v_x = 2y$, $v_y = 2x$。 因此： $z_x = 2x z_u + 2y z_v$， $z_y = -2y z_u + 2x z_v$。

对 $z_x = 2x z_u + 2y z_v$ 再对 $x$ 求偏导： 第一项 $2x z_u$ 对 $x$ 求导：$2z_u + 2x \frac{\partial z_u}{\partial x}$，其中 $\frac{\partial z_u}{\partial x} = z_{uu} u_x + z_{uv} v_x = 2x z_{uu} + 2y z_{uv}$，贡献为 $2z_u + 4x^2 z_{uu} + 4xy z_{uv}$。 第二项 $2y z_v$ 对 $x$ 求导：$2y \frac{\partial z_v}{\partial x}$，其中 $\frac{\partial z_v}{\partial x} = z_{vu} u_x + z_{vv} v_x = 2x z_{uv} + 2y z_{vv}$，贡献为 $4xy z_{uv} + 4y^2 z_{vv}$。 相加得：$z_{xx} = 2z_u + 4x^2 z_{uu} + 8xy z_{uv} + 4y^2 z_{vv}$。

对 $z_y = -2y z_u + 2x z_v$ 再对 $y$ 求偏导： 第一项 $-2y z_u$ 对 $y$ 求导：$-2z_u - 2y \frac{\partial z_u}{\partial y}$，其中 $\frac{\partial z_u}{\partial y} = z_{uu} u_y + z_{uv} v_y = -2y z_{uu} + 2x z_{uv}$，贡献为 $-2z_u + 4y^2 z_{uu} - 4xy z_{uv}$。 第二项 $2x z_v$ 对 $y$ 求导：$2x \frac{\partial z_v}{\partial y}$，其中 $\frac{\partial z_v}{\partial y} = z_{vu} u_y + z_{vv} v_y = -2y z_{uv} + 2x z_{vv}$，贡献为 $-4xy z_{uv} + 4x^2 z_{vv}$。 相加得：$z_{yy} = -2z_u + 4y^2 z_{uu} - 8xy z_{uv} + 4x^2 z_{vv}$。

将 $z_{xx}$ 和 $z_{yy}$ 相加： $z_{xx} + z_{yy} = (2z_u - 2z_u) + (4x^2 z_{uu} + 4y^2 z_{uu}) + (8xy z_{uv} - 8xy z_{uv}) + (4y^2 z_{vv} + 4x^2 z_{vv})$。 化简得：$z_{xx} + z_{yy} = 4(x^2 + y^2) z_{uu} + 4(x^2 + y^2) z_{vv} = 4(x^2 + y^2)(z_{uu} + z_{vv})$。

计算 $u^2 + v^2 = (x^2 - y^2)^2 + (2xy)^2 = x^4 - 2x^2 y^2 + y^4 + 4x^2 y^2 = x^4 + 2x^2 y^2 + y^4 = (x^2 + y^2)^2$。 因此 $x^2 + y^2 = \sqrt{u^2 + v^2}$（取正平方根，因为 $x^2 + y^2 \ge 0$）。

原方程 $z_{xx} + z_{yy} = 0$ 代入得：$4\sqrt{u^2 + v^2} (z_{uu} + z_{vv}) = 0$。 在非退化区域（$u, v$ 不全为0）中，$\sqrt{u^2 + v^2} > 0$，故可约去，得到 $z_{uu} + z_{vv} = 0$。

原条件 $z_{xx}+z_{yy}=0$，代入得 $4\sqrt{u^2+v^2}\,(z_{uu}+z_{vv})=0$。由于在一般区域 $\sqrt{u^2+v^2}>0$，故 $z_{uu}+z_{vv}=0$。