南京航空航天大学 2026年数学分析第6题
📝 题目
6．解答如下问题：
（1）判断 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{\alpha}+\sin x} \mathrm{~d} x$ 的玫散性．
（2）证明：$\displaystyle f(x)=x e^{-x^{2}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析被积函数在x→∞时的渐近行为
当$x\to +\infty$时，分母中$x^\alpha$起主导作用，$\sin x$有界振荡。因此被积函数近似为$\frac{\sin x}{x^\alpha}$。需要考虑分母是否可能为零导致瑕点。
公式：\frac{\sin x}{x^\alpha+\sin x} \sim \frac{\sin x}{x^\alpha}\quad (x\to+\infty)
提示：注意分母$\sin x$可能使分母为零，需单独处理$\alpha\le 0$的情况。
步骤 2/8
目标：讨论α>0时的收敛性
当$\alpha>0$时，对充分大的$x$，有$x^\alpha+\sin x \ge x^\alpha-1>0$，且分母单调递增趋于无穷。令$g(x)=\frac{1}{x^\alpha+\sin x}$，则$g(x)$单调递减趋于0。由Dirichlet判别法，$\int_1^{+\infty}\sin x\cdot g(x)\,dx$收敛。
公式：\left|\int_A^B \sin x\,dx\right|\le 2,\quad g(x)\searrow 0
提示：Dirichlet判别法要求$g(x)$单调趋于0，且$\int_A^B\sin x\,dx$有界。
步骤 3/8
目标：讨论α=0时的发散性
当$\alpha=0$时，被积函数为$\frac{\sin x}{1+\sin x}$。在$\sin x=-1$即$x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi$处分母为零，被积函数趋于无穷。这些瑕点附近积分发散（类似$\int \frac{1}{x}\,dx$发散），且瑕点无穷多，故积分发散。
公式：\frac{\sin x}{1+\sin x}\sim \frac{-1}{0}\quad (\sin x\to -1)
提示：注意瑕点处被积函数无界，且瑕点序列趋于无穷，导致积分发散。
步骤 4/8
目标：讨论α<0时的发散性
当$\alpha<0$时，$x^\alpha\to 0$，分母主要取决于$\sin x$。在$\sin x=0$处（如$x=k\pi$），分母趋于0，被积函数趋于无穷，且这些点无穷多，积分发散。
公式：\frac{\sin x}{x^\alpha+\sin x}\approx \frac{\sin x}{\sin x}=1\quad (\text{在}\sin x\neq 0\text{处})
提示：α<0时分母振荡更剧烈，奇点更多，发散更严重。
步骤 5/8
目标：总结第一问的敛散性结论
综合以上讨论，积分$\int_1^{+\infty}\frac{\sin x}{x^\alpha+\sin x}\,dx$收敛当且仅当$\alpha>0$。
公式：\text{收敛}\iff \alpha>0
提示：注意α=0和α<0均发散，但发散原因不同。
步骤 6/8
目标：分析f(x)的有界性和极限行为
由于$\int_0^x e^{-t^2}\,dt \le \int_0^\infty e^{-t^2}\,dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$，故$|f(x)|\le \frac{\sqrt{\pi}}{2}x e^{-x^2}$。当$x\to+\infty$时，$x e^{-x^2}\to 0$，因此$\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$。
公式：f(x)=x e^{-x^2}\int_0^x e^{-t^2}\,dt,\quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=0
提示：利用高斯积分的有界性估计f(x)的绝对值。
步骤 7/8
目标：利用极限存在证明一致连续性
f(x)在$[0,+\infty)$上连续，且$\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$。对任意$\varepsilon>0$，存在$X>0$使得当$x\ge X$时$|f(x)|<\varepsilon/2$。在闭区间$[0,X+1]$上f连续，从而一致连续，存在$\delta_1>0$。取$\delta=\min(\delta_1,1)$，则对任意$x,y\ge0$，若$|x-y|<\delta$，要么两者都在$[0,X+1]$内，要么都$\ge X$，均有$|f(x)-f(y)|<\varepsilon$。
公式：\forall\varepsilon>0,\exists X>0,\forall x\ge X:|f(x)|<\varepsilon/2
提示：将无穷区间分为有限部分和无穷远部分分别处理，是证明一致连续的常用技巧。
步骤 8/8
目标：总结第二问的证明结论
因此，函数$f(x)=x e^{-x^2}\int_0^x e^{-t^2}\,dt$在$[0,+\infty)$上一致连续。
公式：f(x)\text{在}[0,+\infty)\text{上一致连续}
提示：注意一致连续要求对任意两点，只要距离足够小，函数值差就小于给定正数。
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