南京航空航天大学 2026年数学分析第8题
📝 题目
8．证明 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left|x-\frac{1}{n}\right|}{2^{n}}$ 在 $\displaystyle x_{k}=\frac{1}{k}(k=1,2, \cdots)$ 点不可微，求导函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析函数结构与收敛性
函数 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left|x-\frac{1}{n}\right|}{2^{n}}$ 由绝对值函数构成。由于 $\left|x-\frac{1}{n}\right| \le 1+\frac{1}{n} \le 2$（当 $x\in[0,1]$ 时），且 $\sum \frac{2}{2^n}$ 收敛，故级数一致收敛。在 $x \neq \frac{1}{n}$ 处，每项可导，且导数为 $\frac{d}{dx}\left|x-\frac{1}{n}\right| = \operatorname{sgn}\left(x-\frac{1}{n}\right)$。
公式：$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left|x-\frac{1}{n}\right|}{2^{n}}$
提示：注意绝对值函数的转折点就是 $x=1/n$，在这些点不可导，但级数一致收敛允许逐项求导（在非转折点处）。
步骤 2/5
目标：证明在 $x_k=1/k$ 处不可微
固定 $k$，将 $f(x)$ 拆分为第 $k$ 项与其余项：$f(x)=\frac{|x-1/k|}{2^k}+\sum_{n\neq k}\frac{|x-1/n|}{2^n}$。其余项在 $x=1/k$ 处光滑可导，而第 $k$ 项左右导数分别为 $-1/2^k$ 和 $+1/2^k$。因此 $f$ 在 $x=1/k$ 处的左导数为 $f'_-(1/k)=-\frac{1}{2^k}+\sum_{n\neq k}\frac{\operatorname{sgn}(1/k-1/n)}{2^n}$，右导数为 $f'_+(1/k)=\frac{1}{2^k}+\sum_{n\neq k}\frac{\operatorname{sgn}(1/k-1/n)}{2^n}$，两者相差 $\frac{2}{2^k}\neq0$，故不可微。
公式：$f'_-(1/k)-f'_+(1/k)=-\frac{2}{2^k}\neq0$
提示：不要忘记其余项在 $x=1/k$ 处可导且左右导数相等，因此不可微性完全由第 $k$ 项贡献。
步骤 3/5
目标：求可微点处的导函数表达式
对于 $x\neq 1/n$，逐项求导得 $f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\operatorname{sgn}(x-1/n)}{2^n}$。当 $x\le 0$ 时，对所有 $n$ 有 $x<1/n$，故 $\operatorname{sgn}=-1$，$f'(x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}=-1$。当 $x>1$ 时，对所有 $n$ 有 $x>1/n$，故 $\operatorname{sgn}=1$，$f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}=1$。
公式：$f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\operatorname{sgn}(x-1/n)}{2^n}$
提示：注意 $\operatorname{sgn}(0)$ 未定义，因此 $x=1/n$ 处不可导，需排除。
步骤 4/5
目标：化简 $0
设 $m=\max\{n: 1/n > x\}$，即 $m=\lfloor 1/x \rfloor$。则当 $n\le m$ 时 $1/n > x$，$\operatorname{sgn}=-1$；当 $n>m$ 时 $1/n < x$，$\operatorname{sgn}=1$。于是 $f'(x)=-\sum_{n=1}^{m}\frac{1}{2^n}+\sum_{n=m+1}^{\infty}\frac{1}{2^n}$。计算得 $\sum_{n=1}^{m}\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^m}$，$\sum_{n=m+1}^{\infty}\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2^m}$，所以 $f'(x)=-(1-\frac{1}{2^m})+\frac{1}{2^m}=-1+\frac{2}{2^m}=-1+2^{1-m}$。
公式：$f'(x)=-1+2^{1-m}$，其中 $m=\lfloor 1/x \rfloor$
提示：注意 $m$ 是满足 $1/m > x$ 的最大整数，即 $m=\lfloor 1/x \rfloor$，当 $x$ 接近 $1/k$ 时 $m$ 会跳变，导致导数不连续。
步骤 5/5
目标：总结导函数并指出不可微点
综合以上，导函数为分段形式：
$$
f'(x)=
\begin{cases}
-1, & x\le 0,\\
-1+2^{1-m}, & 01.
\end{cases}
$$
在 $x_k=1/k$（$k=1,2,\ldots$）处，函数不可微。
公式：$f'(x)$ 分段表达式
提示：注意 $x=0$ 处导数存在（为 $-1$），因为 $0$ 不是任何 $1/n$；$x=1$ 处不可微（因为 $1=1/1$）。
步骤 6/7
目标：求导函数（在可微点）
对于 $x \neq 1/k$（$k=1,2,\ldots$），$f(x)$ 可微。由于级数在 $x$ 的某个邻域内一致收敛（因为 $x$ 不在任何 $1/n$ 上，存在邻域使得 $|x-1/n|$ 有正下界，从而每项导数一致收敛），可以逐项求导：
$$
f'(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\operatorname{sgn}(x-1/n)}{2^n}.
$$
其中 $\operatorname{sgn}(t)=1$ 若 $t>0$，$=-1$ 若 $t<0$。
公式：逐项求导定理：若 $\sum u_n(x)$ 在某点收敛，且 $\sum u'_n(x)$ 一致收敛，则和函数可导且导数等于逐项导数之和。
提示：注意 $x$ 不能等于任何 $1/n$，否则 $\operatorname{sgn}(0)$ 无定义。实际上，在 $x=1/k$ 处导数不存在，所以导函数定义域为 $\mathbb{R} \setminus \{1/k: k\in\mathbb{N}^+\}$。
步骤 7/7
目标：总结结论
综上所述，$f(x)$ 在 $x_k=1/k$ 处不可微，在其他点处可导，且导数为 $f'(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\operatorname{sgn}(x-1/n)}{2^n}$。
提示：注意导函数是阶梯函数，在 $x=1/k$ 处有跳跃间断点，跳跃度为 $1/2^{k-1}$。
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