南开大学 2026年数学分析第1题
📝 题目
1、设常数 $\displaystyle a>0$ ，计算积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos (\ln x)}{x^{a+1}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：变量替换，简化积分形式
令 $t = \ln x$，则 $x = e^t$，$dx = e^t dt$。当 $x=1$ 时 $t=0$，当 $x \to +\infty$ 时 $t \to +\infty$。代入原积分得：
\[
\int_{1}^{+\infty} \frac{\cos(\ln x)}{x^{a+1}} \, dx = \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos t}{(e^t)^{a+1}} \cdot e^t \, dt = \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos t}{e^{t(a+1)}} e^t \, dt
\]
公式：$t = \ln x$，$dx = e^t dt$
提示：注意积分限的对应变换，以及指数运算的合并。
步骤 2/5
目标：合并指数，化简被积函数
分母为 $e^{t(a+1)}$，分子乘 $e^t$，合并指数：
\[
\frac{e^t}{e^{t(a+1)}} = e^{t - t(a+1)} = e^{-a t}
\]
因此积分化为：
\[
\int_{0}^{+\infty} e^{-a t} \cos t \, dt
\]
公式：$e^{t} / e^{t(a+1)} = e^{-a t}$
提示：指数相减时注意符号，$1 - (a+1) = -a$。
步骤 3/5
目标：识别标准积分形式
该积分是 Laplace 变换的标准形式：
\[
\int_0^{+\infty} e^{-s t} \cos(bt) \, dt = \frac{s}{s^2 + b^2}, \quad \text{当 } s > 0
\]
这里 $s = a$，$b = 1$。
公式：$\int_0^\infty e^{-st} \cos(bt) dt = \frac{s}{s^2+b^2}$
提示：记住此公式，或通过分部积分推导。
步骤 4/5
目标：代入参数得到结果
将 $s = a$，$b = 1$ 代入公式，得：
\[
\int_{0}^{+\infty} e^{-a t} \cos t \, dt = \frac{a}{a^2 + 1}
\]
公式：$\frac{a}{a^2+1}$
提示：确保 $a>0$ 以保证积分收敛。
步骤 5/5
目标：验证收敛性并给出最终答案
由于 $a>0$，指数因子 $e^{-a t}$ 保证积分绝对收敛，计算有效。因此原积分的值为：
\[
\boxed{\frac{a}{a^2+1}}
\]
公式：无
提示：检查 $a>0$ 条件是否满足，否则积分发散。
步骤 6/8
目标：计算下限值
下限 $t=0$ 时，$e^{-a \cdot 0}=1$，$\cos 0 = 1$，$\sin 0 = 0$，代入得 $\frac{1 \cdot (-a \cdot 1 + 0)}{a^2+1} = \frac{-a}{a^2+1}$。
提示：注意符号：下限代入后是 $-a/(a^2+1)$，但积分值是上限减下限，所以减去这个负值。
步骤 7/8
目标：得出积分结果
因此，
\[
\int_{0}^{+\infty} e^{-a t} \cos t \, \mathrm{d}t = 0 - \left( \frac{-a}{a^2+1} \right) = \frac{a}{a^2+1}.
\]
提示：最终结果为正数，因为 $a>0$。
步骤 8/8
目标：回代原变量
原积分等于该结果，故
\[
\int_{1}^{+\infty} \frac{\cos (\ln x)}{x^{a+1}} \mathrm{d}x = \frac{a}{a^2+1}.
\]
提示：变量代换后无需回代，因为积分限已转换。
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