南开大学 2026年数学分析第5题
📝 题目
5、求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n x)}{2^{n}}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}} \sin ^{2}\left(\frac{n x}{2}\right)$ 的和函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将第一个级数转化为复数级数的虚部
考虑等比级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{e^{ix}}{2}\right)^n$，其虚部即为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{2^n}$。公比 $r = \frac{e^{ix}}{2}$ 满足 $|r| = \frac12 < 1$，级数收敛。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} r^n = \frac{r}{1-r}$，其中 $r = \frac{e^{ix}}{2}$
提示：注意公比模长小于1是收敛条件，且要区分实部和虚部。
步骤 2/7
目标：计算复数级数的和并分离实部和虚部
由等比级数求和公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{inx}}{2^n} = \frac{e^{ix}}{2 - e^{ix}}$。将 $e^{ix} = \cos x + i\sin x$ 代入，分母为 $(2-\cos x) - i\sin x$，分子分母同乘共轭 $(2-\cos x) + i\sin x$，化简得：$\frac{2\cos x - 1}{5-4\cos x} + i\frac{2\sin x}{5-4\cos x}$。
公式：$\frac{e^{ix}}{2 - e^{ix}} = \frac{2\cos x - 1}{5-4\cos x} + i\frac{2\sin x}{5-4\cos x}$
提示：化简时注意分母 $5-4\cos x$ 恒正，避免符号错误。
步骤 3/7
目标：得到第一个级数的和函数
原级数等于复数和的虚部，因此 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{2^n} = \frac{2\sin x}{5-4\cos x}$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{2^n} = \frac{2\sin x}{5-4\cos x}$
提示：验证：当 $x=0$ 时，左边为0，右边分子为0，结果一致。
步骤 4/7
目标：利用三角恒等式化简第二个级数
由 $\sin^2\left(\frac{nx}{2}\right) = \frac{1-\cos(nx)}{2}$，代入得：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\cdot 2^n} \sin^2\left(\frac{nx}{2}\right) = \frac12 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 2^n} - \frac12 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{n 2^n}$。
公式：$\sin^2\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$
提示：注意系数 $\frac12$ 来自恒等式，不要遗漏。
步骤 5/7
目标：计算第一个常数级数
利用对数展开 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n} = -\ln(1-t)$，取 $t = \frac12$ 得：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 2^n} = -\ln\left(1-\frac12\right) = \ln 2$。因此第一部分为 $\frac12 \ln 2$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n} = -\ln(1-t)$，$|t|<1$
提示：注意 $\ln(1/2) = -\ln 2$，避免符号错误。
步骤 6/7
目标：计算余弦级数的和
考虑复数级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(e^{ix}/2)^n}{n} = -\ln\left(1-\frac{e^{ix}}{2}\right)$。计算 $1-\frac{e^{ix}}{2} = \frac{2-\cos x}{2} - i\frac{\sin x}{2}$，其模为 $\frac12\sqrt{5-4\cos x}$，辐角 $\theta$ 满足 $\tan\theta = \frac{-\sin x}{2-\cos x}$。取实部得：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{n 2^n} = \ln 2 - \frac12 \ln(5-4\cos x)$。
公式：$-\ln\left(1-\frac{e^{ix}}{2}\right) = \ln 2 - \frac12 \ln(5-4\cos x) - i\theta$
提示：注意 $\ln$ 的实部来自模的对数，辐角对应虚部。
步骤 7/7
目标：合并得到第二个级数的和函数
第二部分为 $-\frac12 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{n 2^n} = -\frac12 \ln 2 + \frac14 \ln(5-4\cos x)$。加上第一部分 $\frac12 \ln 2$，消去 $\frac12 \ln 2$，得：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\cdot 2^n} \sin^2\left(\frac{nx}{2}\right) = \frac14 \ln(5-4\cos x)$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\cdot 2^n} \sin^2\left(\frac{nx}{2}\right) = \frac14 \ln(5-4\cos x)$
提示：注意两部分中 $\ln 2$ 项恰好抵消，结果简洁。
步骤 8/8
目标：代入并化简得到第二个级数的和函数
将结果代入 $S_2(x)$ 表达式：$S_2(x) = \frac{1}{2} \ln 2 - \frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2} \ln\left(\frac{5}{4} - \cos x\right)\right] = \frac{1}{2} \ln 2 + \frac{1}{4} \ln\left(\frac{5}{4} - \cos x\right)$。利用对数性质合并：$\frac{1}{2} \ln 2 = \frac{1}{4} \ln 4$，所以 $S_2(x) = \frac{1}{4} \ln\left[4\left(\frac{5}{4} - \cos x\right)\right] = \frac{1}{4} \ln(5 - 4\cos x)$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^n} \sin^2\left(\frac{n x}{2}\right) = \frac{1}{4} \ln(5 - 4\cos x)$
提示：合并对数时注意系数统一，$\frac{1}{2}\ln 2 = \ln\sqrt{2}$，但用 $\frac{1}{4}\ln 4$ 更便于合并。
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