厦门大学 2026年数学分析第3题
📝 题目
3．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是定义在 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续可微函数，且满足 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ，证明：
$$
\int_{0}^{1}\left|f(x)-f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \geq \frac{1}{e}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析题目条件与目标
已知 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续可微，且 $f(0)=0$, $f(1)=1$。需要证明积分不等式：
$$\int_0^1 |f(x)-f'(x)|\,dx \ge \frac{1}{e}.$$
公式：$$\int_0^1 |f(x)-f'(x)|\,dx \ge \frac{1}{e}$$
提示：注意绝对值内部是 $f-f'$，联想到微分方程 $f'-f=0$ 的解为 $Ce^x$，可考虑积分因子。
步骤 2/5
目标：构造辅助函数并求导
令 $g(x)=e^{-x}f(x)$，则 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续可微。求导得：
$$g'(x)=e^{-x}f'(x)-e^{-x}f(x)=e^{-x}(f'(x)-f(x)).$$
因此
$$f(x)-f'(x)=-e^x g'(x).$$
公式：$$g'(x)=e^{-x}(f'(x)-f(x)),\quad f(x)-f'(x)=-e^x g'(x)$$
提示：注意符号：$f-f' = -e^x g'$，取绝对值时负号消失。
步骤 3/5
目标：改写原积分
由 $|f(x)-f'(x)| = e^x |g'(x)|$，原积分化为：
$$\int_0^1 |f(x)-f'(x)|\,dx = \int_0^1 e^x |g'(x)|\,dx.$$
由边界条件：
$$g(0)=e^0 f(0)=0,\quad g(1)=e^{-1}f(1)=\frac{1}{e}.$$
公式：$$\int_0^1 |f(x)-f'(x)|\,dx = \int_0^1 e^x |g'(x)|\,dx,\quad g(0)=0,\; g(1)=\frac{1}{e}$$
提示：边界条件转换时注意 $e^{-1}$ 的系数。
步骤 4/5
目标：利用积分不等式进行下界估计
由于 $e^x \ge 1$ 在 $[0,1]$ 上成立，有：
$$\int_0^1 e^x |g'(x)|\,dx \ge \int_0^1 |g'(x)|\,dx.$$
由牛顿-莱布尼茨公式和绝对值不等式：
$$\int_0^1 |g'(x)|\,dx \ge \left|\int_0^1 g'(x)\,dx\right| = |g(1)-g(0)| = \frac{1}{e}.$$
因此
$$\int_0^1 |f(x)-f'(x)|\,dx \ge \frac{1}{e}.$$
公式：$$\int_0^1 e^x |g'(x)|\,dx \ge \int_0^1 |g'(x)|\,dx \ge \frac{1}{e}$$
提示：关键步骤：利用 $e^x \ge 1$ 放缩，再用绝对值不等式连接积分与端点差。
步骤 5/5
目标：结论与等号讨论
原不等式得证。等号成立需要 $e^x|g'(x)| = |g'(x)|$ 几乎处处成立，即 $g'(x)=0$ 几乎处处成立，从而 $g$ 为常数，与 $g(0)=0$, $g(1)=1/e$ 矛盾，故等号不能取到，不等式严格成立。
公式：$$\int_0^1 |f(x)-f'(x)|\,dx \ge \frac{1}{e}$$
提示：等号无法取到，但题目只要求证明不等式，无需讨论严格性。
步骤 6/7
目标：利用指数函数的单调性放缩
由于在 $[0,1]$ 上 $e^{x} \ge 1$，所以 $\int_0^1 e^{x}|g'(x)|\,dx \ge \int_0^1 |g'(x)|\,dx$。
公式：$e^{x} \ge 1$ 在 $[0,1]$ 上
提示：注意指数函数的最小值在 $x=0$ 处为1，因此放缩成立。
步骤 7/7
目标：综合得到最终不等式
结合以上步骤，$\int_0^1 |f(x)-f'(x)|\,dx = \int_0^1 e^{x}|g'(x)|\,dx \ge \int_0^1 |g'(x)|\,dx \ge e^{-1} = \frac{1}{e}$。
提示：注意等号成立条件：需要 $g'(x)$ 不变号且 $e^{x}=1$ 几乎处处成立，但 $e^{x}=1$ 仅在 $x=0$ 成立，故等号不能取到，不等式严格成立。
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