厦门大学 2026年数学分析第6题
📝 题目
6．（20 分）记 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中的点 $\displaystyle \mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right), \mathbb{R}^{3}$ 中以原点为圆心，$\displaystyle r>0$ 为半径的开球记为 $\displaystyle B_{r}$ ，其边界为 $\displaystyle \partial B_{r}$ ．设 $\displaystyle f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}$ 具有连续的偏导数，且 $\displaystyle f(\mathbf{x})=0, \forall x \in \partial B_{r}$ ，证明：
$$
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \iiint_{B_{r} \backslash B_{\varepsilon}} \frac{x_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}(\mathbf{x})}{|x|^{3}} \mathrm{~d} V=-4 \pi f(\mathbf{0})
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解被积函数并引入向量场
根据求和约定，$x_i \frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{x}) = \mathbf{x} \cdot \nabla f(\mathbf{x})$。因此被积函数为 $\frac{\mathbf{x} \cdot \nabla f(\mathbf{x})}{|\mathbf{x}|^3}$。考虑向量场 $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \frac{f(\mathbf{x}) \mathbf{x}}{|\mathbf{x}|^3}$，计算其散度：$\nabla \cdot \mathbf{F} = \nabla f \cdot \frac{\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|^3} + f(\mathbf{x}) \nabla \cdot \left(\frac{\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|^3}\right)$。由于对 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ 有 $\nabla \cdot \left(\frac{\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|^3}\right) = 0$，故 $\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\mathbf{x} \cdot \nabla f(\mathbf{x})}{|\mathbf{x}|^3}$。
公式：$\nabla \cdot \left( \frac{f(\mathbf{x}) \mathbf{x}}{|\mathbf{x}|^3} \right) = \frac{\mathbf{x} \cdot \nabla f(\mathbf{x})}{|\mathbf{x}|^3}, \quad \mathbf{x} \neq \mathbf{0}$
提示：注意散度定理要求向量场在区域内连续可微，这里除原点外均满足，因此需要挖去原点附近的小球。
步骤 2/6
目标：应用散度定理到挖去小球的区域
考虑区域 $B_r \setminus B_\varepsilon$，其边界由外球面 $\partial B_r$ 和内球面 $\partial B_\varepsilon$ 组成。外法向：在 $\partial B_r$ 上指向远离原点，即 $\mathbf{n}_{\text{out}} = \frac{\mathbf{x}}{r}$；在 $\partial B_\varepsilon$ 上，由于区域是挖掉小球，内法向指向原点，即 $\mathbf{n}_{\text{in}} = -\frac{\mathbf{x}}{\varepsilon}$。由散度定理：
$$\iiint_{B_r \setminus B_\varepsilon} \frac{\mathbf{x} \cdot \nabla f}{|\mathbf{x}|^3} \, dV = \iint_{\partial B_r} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}_{\text{out}} \, dS + \iint_{\partial B_\varepsilon} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}_{\text{in}} \, dS.$$
公式：$\iiint_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV = \iint_{\partial \Omega} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS$
提示：注意内边界法向的方向与通常外法向相反，这是挖去区域时容易出错的地方。
步骤 3/6
目标：计算外边界上的积分
在 $\partial B_r$ 上，$|\mathbf{x}| = r$，$\mathbf{n}_{\text{out}} = \frac{\mathbf{x}}{r}$。则
$$\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}_{\text{out}} = \frac{f(\mathbf{x}) \mathbf{x}}{r^3} \cdot \frac{\mathbf{x}}{r} = \frac{f(\mathbf{x}) |\mathbf{x}|^2}{r^4} = \frac{f(\mathbf{x})}{r^2}.$$
由题目条件，在 $\partial B_r$ 上 $f(\mathbf{x}) = 0$，因此该面积分为 $0$。
公式：$\iint_{\partial B_r} \frac{f(\mathbf{x})}{r^2} \, dS = 0$
提示：直接利用边界条件简化计算。
步骤 4/6
目标：计算内边界上的积分
在 $\partial B_\varepsilon$ 上，$|\mathbf{x}| = \varepsilon$，$\mathbf{n}_{\text{in}} = -\frac{\mathbf{x}}{\varepsilon}$。则
$$\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}_{\text{in}} = \frac{f(\mathbf{x}) \mathbf{x}}{\varepsilon^3} \cdot \left(-\frac{\mathbf{x}}{\varepsilon}\right) = -\frac{f(\mathbf{x}) |\mathbf{x}|^2}{\varepsilon^4} = -\frac{f(\mathbf{x})}{\varepsilon^2}.$$
因此内边界上的面积分为
$$\iint_{\partial B_\varepsilon} -\frac{f(\mathbf{x})}{\varepsilon^2} \, dS = -\frac{1}{\varepsilon^2} \iint_{\partial B_\varepsilon} f(\mathbf{x}) \, dS.$$
公式：$\iint_{\partial B_\varepsilon} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}_{\text{in}} \, dS = -\frac{1}{\varepsilon^2} \iint_{\partial B_\varepsilon} f(\mathbf{x}) \, dS$
提示：注意内法向的负号会引入一个负号。
步骤 5/6
目标：取极限 $\varepsilon \to 0^+$
由于 $f$ 连续，当 $\varepsilon$ 很小时，在 $\partial B_\varepsilon$ 上 $f(\mathbf{x}) \approx f(\mathbf{0})$。更严格地，由连续函数的性质，有
$$\iint_{\partial B_\varepsilon} f(\mathbf{x}) \, dS = f(\mathbf{0}) \cdot 4\pi \varepsilon^2 + o(\varepsilon^2).$$
代入内边界积分表达式得
$$-\frac{1}{\varepsilon^2} \iint_{\partial B_\varepsilon} f(\mathbf{x}) \, dS = -4\pi f(\mathbf{0}) + o(1).$$
令 $\varepsilon \to 0^+$，极限为 $-4\pi f(\mathbf{0})$。
公式：$\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left(-\frac{1}{\varepsilon^2} \iint_{\partial B_\varepsilon} f(\mathbf{x}) \, dS\right) = -4\pi f(\mathbf{0})$
提示：这里用到了球面面积 $4\pi \varepsilon^2$ 和 $f$ 的连续性，注意 $o(\varepsilon^2)$ 项除以 $\varepsilon^2$ 后趋于 $0$。
步骤 6/6
目标：得出结论
外边界积分为 $0$，内边界积分极限为 $-4\pi f(\mathbf{0})$，因此原极限为
$$\lim_{\varepsilon \to 0^+} \iiint_{B_r \setminus B_\varepsilon} \frac{x_i \frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{x})}{|\mathbf{x}|^3} \, dV = -4\pi f(\mathbf{0}).$$
公式：$\boxed{-4\pi f(\mathbf{0})}$
提示：最终结果与 $r$ 无关，体现了散度定理和边界条件的巧妙结合。
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